| 研究課題/領域番号 |
16K05109
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| 研究機関 | 東京理科大学 |
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研究代表者 |
伊藤 浩行 東京理科大学, 理工学部数学科, 教授 (60232469)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | 正標数代数幾何学 / 特異点 / 有理二重点 / K3曲面 |
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| 研究実績の概要 |
本研究課題は、正標数の体上定義される代数多様体と特異点に関して、代数幾何学的、特異点論的、表現論的、数論的、複素解析幾何学的な各視点から研究を行うとともに、応用代数学など周辺分野を取り入れた複眼的視野からの研究により、以下の３点を主たる目的としたものであった。
A) 特異点論における正標数特有の病理現象の統括的解明、およびそれらを含む一般理論の構築、B) K3曲面やCalabi-Yau多様体に関する諸問題の解決とそのモジュラ異空間の構造解明、C) 他分野との連携を取り入れた正標数代数幾何学研究の試み。
このうち A) に関しては、過去に行った野生的群スキーム作用による商特異点に関する研究の応用として、２次元孤立特異点の中で最も基本的かつ重要である有理二重点の研究を行なった。有理二重点は標数0では研究が進み多くの他分野との関連により研究され、基本的な対象であるにも関わらず今もって興味深い研究結果や観察・考察が得られている。一方、正標数の場合は、M.Artinによる分類以降、標数0の場合とは異なり一般論が不明な部分が非常に多く残されたままである。特に、低標数の場合の複雑さはその研究を困難にしている。擬導分作用との関連から従来例外的と思われていたものたちが、互いに関連しあっていることがわかり、これまでの謎解明に少しだけ貢献したと思われる。
B) に関しては超特異K3曲面やの単有理性に関して「証明」されたと思われたものが実はあ誤りである可能背があることから、未だモジュライ空間の構造がわかっているとは言い難い。この点に関しては、準非分離的な現象と絡めてアプローチを試みたが結果を得るには至っていない。また、準超楕円ファイブレーションが入った曲面に関して、曲面論的性質を究明するに至り、散発的な結果を得ている。
C) に関しては、今年度は特に大きな進展はなかった。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
数学的な理由としては、これまでの正標数代数曲面、特に準非分離射に関わる研究成果をまとめて書籍として上梓することとし、その原稿を執筆している段階で細かい多くの数学的問題が発生し、それらの処理に時間が取られたため、新しい成果は散発的なものしか得られなかったことが挙げられる。
一方、数学的ではない理由としては、本務である大学の学内業務が非常に多く、さらに突発的に現れた事項などもあり、研究に十分な時間を取ることができなかった点である。
後者の点に関しては誠に遺憾に思っている。
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| 今後の研究の推進方策 |
現在、正標数における準非分離拡大に関わる現象からの視点として、代数曲面に関して知られている結果の整理を行っている。(宮西氏との共著書籍として刊行予定) その原稿をまとめる中で、細かな問題が多く発生し、それを解決していくことが理論の整備につながると思われる。特に、準超楕円ファイブレーション構造を持つ曲面の研究、有理二重点の研究、超特異K3曲面のモジュライ空間の構造究明に特化して研究を行いたいと考えている。
また、応用代数的視点からの擬似乱数生成への応用、符号理論への応用などについても周辺での進展状況を理解した上で、本研究の中心課題である正標数代数多様体との関連から研究を進めたいと考えている。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
学内業務多忙のため、シンポジウム参加を見送ったものが複数あった。
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