| 研究課題/領域番号 |
16K05110
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| 研究機関 | 日本大学 |
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研究代表者 |
吉田 健一 日本大学, 文理学部, 教授 (80240802)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | pg イデアル / 概ゴレンシュタイン / 有理特異点 / 整閉イデアル / Buchsbaum 加群 / Ulrich 加群 |
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| 研究実績の概要 |
有理特異点と概ゴレンシュタインブローアップ代数の研究として、有理特異点を少し悪くした特異点、例えば、楕円型特異点などのふるまいに大いに関心を持っている。また、有理特異点内の m-準素整閉イデアルは一般の正規特異点においては pg-イデアルと呼ばれる構造を持つため、pgイデアル、もしくはより広く整閉イデアルの挙動に関心を持っている。これらの Rees 代数は Cohen-Macaulay 性を持つため、概ゴレンシュタイン性を持つ可能性が多い。この視点から研究の幅を広げ、core のふるまいによる有理特異点の特徴づけを与えることに成功した(山形大学の奥間智弘氏、日本大学の渡辺敬一氏との共同研究)。つまり、2次元の正規特異点において、整閉イデアルの core を取る操作が包含関係を保つのは有理特異点に限る（テクニカルな仮定として、体の標数が 2 に等しくないことを仮定）ことを証明した。また、pg イデアルの Q:I 型のイデアルが再び pg イデアルことを証明し、勝手な pgイデアルが一般元に付随して得られることを証明することにも成功した。
core以外の研究としては、整閉イデアル、特に極大イデアルのべきの整閉包の生成元の個数に関する Dao-高橋の不等式が成立する環の極大イデアルが pg イデアルであることを証明し、一般の整閉イデアルについてはどのような特徴を有するかを研究中である。
村井聡氏、Isabella Novik 氏との共同研究として、斉次 Buchsbaum Stanley-Reisner 環に 関する補正した上での duality を証明した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
当初の目標であったトーリック環における概ゴレンシュタイン性の研究についてはやや停滞しているが、pg イデアルのような有理特異点の整閉イデアルの理論をより広いクラスの特異点に拡張するという視点から研究をやや見直している。その視点からイデアルのべきの整閉包についてのさまざまな不変量を（幾何的に）計算する研究が大いに進展している。特に、イデアルのべきの整閉包をその極小還元と比較することで評価するタイプの関係式（Briancon-Skodaの定理）の精密化の研究は今後の研究の目標になりうると考えている。
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| 今後の研究の推進方策 |
２次元の正規特異点、もしくは、Brieskorn 型の特異点など理解しやすい特異点の整閉イデアル（及びそのべき）の極小還元との間の関係式の研究などに重点を置く予定である。また、関連して可換環論ではあまり注目されていないが、特異点論的には既に良く知られている特異点のクラスなどに注目して、様々な不変量に対する具体例などを構成していく予定である。そのような例は多くの研究者に役立つものと思われる。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
次年度使用額が生じた理由は、RIMSセミナー(Commutative Algebra and Related Topics)における支出を予定していたが、沖縄科学技術大学が宿泊費・日当をサポートしてくれることになったため、直接経費の使用金額が減ったためである。
今年度は整閉イデアルのべきの極小生成系の個数に関係の深い Smirnov 氏の招聘の宿泊費などのサポート、可換環論における国内研究集会としては最大規模の可換環論シンポジウムの主催として、海外ゲストの招聘などを予定している。また、9月にはベトナムにおけるＪＶセミナーの参加も検討中であり、研究の最終年度ではあるが、今後の研究の発展も見据えて積極的な海外交流の促進を行う予定である。
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