| 研究実績の概要 |
本研究の目的は相対 de Rham, 相対 Dolbeault, 相対 Bott-Chern 等のコホモロジーを用いて, 主として複素解析幾何学に現れる特性類の局所化を調べ, さらにそれぞれの場合に局所双対性によって得られる留数を明示的に求めることである. 平成 28 年度は特に次の課題につき実績をあげた :
1. 関数の概念を大幅に拡張するものとして佐藤超関数がある. これは局所コホモロジーを用いて定義されるが実際に用いるには具体的に表す必要がある. 現在までは主として相対 Cech コホモロジーが用いられていたが, 研究代表者は相対 Dolbeault コホモロジーを用いると著しく簡明になることを見出した. これに適合させるためまず相対 Dolbeault コホモロジーの理論を整備拡充した. 超関数理論への応用については北海道大学の本多尚文, 北海道科学大学の伊澤 毅との共同研究として行っている. まず各種演算を具体的に表した. 実解析関数の超関数への埋め込みでは相対 de Rham コホモロジーにおける Thom 類が基本的な役割を果たす. またファイバー積分も含めた積分論が極めて簡明になるのも本理論の特徴である.
2. ブラジル, ミナスジェライス大学の M. Correa との Bott-Chern コホモロジーにおける局所化理論の共同研究を継続した. これに関し, 相対 Bott-Chern コホモロジーの理論を完成させた. 特に Bott-Chern, Aeppli コホモロジー等を統一的に扱い, 長完全列を得た. これは多くの興味深い応用を持つが, その一つとして特異 Hermitian 葉層構造の留数理論を展開し, 基本的な例を与えた. またこのコホモロジーにおける切断による局所化, Thom 類, Riemann-Roch の定理への応用を開始した.
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| 今後の研究の推進方策 |
今年度の研究を継続し, さらに次のような課題につき研究を行う :
1. 相対 Dolbeault コホモロジー理論に関し, 超関数理論への応用をさらに追求する. また他の応用, 例えば複素解析的 Lefschetz 不動店公式の簡明な証明および拡張を試みる.
2. 相対 Bott-Chern コホモロジー理論に関しても Thom 類, Riemann-Roch 定理等への応用を図る.
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