| 研究課題/領域番号 |
16K05117
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| 研究機関 | 東北大学 |
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研究代表者 |
高橋 淳也 東北大学, 情報科学研究科, 助教 (10361156)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | ホッジ・ラプラシアン / ラフ・ラプラシアン / 固有値 / 微分形式 / リーマン多様体の崩壊 / 固有値の収束 / 球面 |
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| 研究実績の概要 |
本年度も昨年度に引き続き，微分形式に作用する Hodge-Laplacian と粗 Laplacian の固有値の研究を Collete Ann'e 氏（フランス，ナント大学）と共同で行った．
昨年度は，m次元球面上の微分形式に作用する Hodge-Laplacian と粗 Laplacian の第k固有値が0に収束するような非負の断面曲率で体積一定の Riemann 計量の族を構成したが，本年度はこの計量の族に対して Hodge-Laplacian の正の第1固有値の下からの評価を得た．特に，Riemann 計量の族のパラメーターに関するオーダーを明らかにした．一般に固有値を下から評価するのは難しいが，計量の構成方法に着目して，Mayer-Vietoris 型の評価（McGowan 評価）を用いて求めた．
次に，一般の多様体への貼り付け定理から発展した，連結和の崩壊に対する固有値の収束定理を示した．すなわち，2つの Riemann 多様体の連結和を取り，一方の多様体を1点に潰した場合に，対応する微分形式に作用する粗 Laplacian の固有値が残った多様体の固有値に収束することを示した．Hodge-Laplacian の場合は以前の我々の研究で得られているが，今回粗 Laplacian に対しても同様の結果を得ることが出来た．粗 Laplacian の場合は固有値の有界性から H^1-ノルムの有界性が自動的に従うため，Hodge-Laplacian の場合に比べて解析を行いやすいという利点がある．実際，我々は境界値の評価を用いて cut-off の議論により証明したが，この方法は大変簡明で，今後様々な応用が考えられる有効な方法である．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
当初は，昨年度に得られた m次元球面上の Hodge-Laplacian と粗 Laplacian の固有値が0に収束するような計量の存在に加えて，本年度に新たに得られた正の第1固有値の評価に関する成果を合わせて，論文にまとめて投稿する予定であった．
しかし，新型コロナウイルスの感染状況の悪化により，それが達成できなかった．様々な制約や負担増加のため，研究時間が少なくなってしまったのが原因である．
また，新たに取り組んだ連結和の崩壊に対する粗 Laplacian の固有値の収束定理を得るのに，予想以上に時間が掛かってしまった．そのため，「やや遅れている」と判断した．
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| 今後の研究の推進方策 |
本年度は本研究課題の最終年度であったが，新型コロナウイルスの感染状況の悪化により研究が遅れ，予定していた研究を完成することができなかった．そのため，研究期間を1年間延長し，本年度の研究を完成することが目標である．特に，本年度に得られた Hodge-Laplacian と粗 Laplacian の固有値に関する研究成果を論文にまとめ，投稿することである．
また，Riemann 計量の幾何学的制限を体積一定から直径が有界な場合に置き換えた際に，Hodge-Laplacian の固有値の振る舞いについても調べたい．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
本年度に予定していた出張が新型コロナウイルスの影響のため中止となり，出張旅費がそのまま残ることになった．しかし，次年度も新型コロナウイルスの影響が続くことが予想される．
そのため，本年度に予定していた出張旅費の未使用額は，オンラインでの研究活動を効率的に行うために，IT機器の費用として使用する予定である．
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