| 研究課題/領域番号 |
16K05119
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| 研究機関 | 茨城大学 |
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研究代表者 |
木村 真琴 茨城大学, 理学部, 教授 (30186332)
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| 研究分担者 |
入江 博 茨城大学, 理学部, 准教授 (30385489)
大塚 富美子 茨城大学, 理学部, 准教授 (90194208)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | ツイスター空間 / 四元数ケーラー構造 / 複素グラスマン多様体 / 複素射影空間 / 複素双曲空間 / ホップ超曲面 / ガウス写像 / ルジャンドル部分多様体 |
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| 研究実績の概要 |
複素射影空間内のホップ超曲面については、focal 写像の階数に関する付帯条件の下でその構造定理が知られていたが、本研究では一般の実超曲面から(複素ユークリッド空間内の複素2次元部分空間全体が作る)複素グラスマン多様体へのガウス写像を考察することにより、複素射影空間内のホップ超曲面は、そのガウス写像の像であるケーラー多様体上の円束の全空間となっていることを示した。逆に、その複素グラスマン多様体の(四元数ケーラー構造に関する)ツイスター空間内の、(正則)ルジャンドル部分多様体に対して、その上のある円束を複素射影空間内の(特異点をもつかもしれないが、正則部分において)ホップ超曲面として実現できることがわかった。このとき、複素2平面のなす複素グラスマン多様体のツイスター空間と、複素射影空間内の(向きつけられた)測地線(あるいは測地的同心円)全体の空間が自然に同一視できることが本質的に重要である。複素双曲空間内のホップ超曲面については、外の空間の正則断面曲率の値を-4とするとき、ホップ超曲面の構造ベクトル場の(一定な)主曲率の絶対値が２の場合を境にして3通りに分けられる。2より大きい場合は、複素射影空間の場合と同様な構造定理が得られている一方で、2以下の場合は様相が全く異なっていた。本研究では、複素双曲空間内の実超曲面の各点に対して、位置ベクトルと法ベクトルで張られる不定値2次元部分空間を対応させるにより、複素ミンコフスキー空間内の不定値2平面のなす複素グラスマン多様体へのガウス写像を考察することにより、そのパラ四元数ケーラー構造を用いて、ホップ超曲面の統一的な構造定理を得ることができた。この場合も、複素双曲空間内の全測地的複素双曲直線における「測地線」「ホロサイクル」「測地円」全体の空間と対応する複素グラスマン多様体の「パラ四元数ケーラー構造」に関するツイスター空間が重要である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
研究課題について、研究代表者は刊行予定も含めて3編の論文を発表予定であり、研究分担者も2編の論文を発表している。また、研究代表者は研究課題について国際研究集会で3件、外国人も参加した国内研究集会で1件研究発表を行った。
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| 今後の研究の推進方策 |
今までの研究成果を踏まえて、複素双曲空間内のホップ超曲面のツイスター空間を用いた構成、及び複素射影空間内の線織的な(極小)ラグランジュ部分多様体の構成を目指す。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
業務多忙の為、計画していた研究打ち合わせのための出張が行えなかった。
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| 次年度使用額の使用計画 |
前年度に行えなかった研究打ち合わせの為の出張を行う。
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