| 研究実績の概要 |
半単純リー群の既約ユニタリ表現は，1940 年代より 70 年以上にわたる深い研究がなされて，既約表現のいくつかの重要な系列は代数・解析・幾何の様々な手法を用いて発見・構成されている．一方，既約ユニタリ表現の分類は大きな未解決問題として我々の前に立ちはだかっている．その困難の一因は，無限次元表現のうち，特異な振る舞いをするものが存在することにある．
本研究では当該研究代表者が従前行ってきた「ペンローズ変換による無限次元表現の研究」を発展させ，非コンパクトな複素多様体における積分幾何によって，特異なユニタリ表現の二つのモデルが結びつく原理の解明を目指す．
Berger の分類理論における半ケーラー対称空間 X とは，単純リー群 G の対称空間 G/H であって，その固定部分群 L がコンパクトな 1 次元の中心を含むものである．半ケーラー多様体の典型例は G=SU(p,q), H=S(U(k)xU(p-k,q)) としたときの不定値グラスマン多様体である．本研究では，この半ケーラー多様体を対象とし，X 上の正則直線束 L に値を持つ k 次 \bar \partial 閉形式を k 次元のコンパクト複素部分多様体上で積分することによって，サイクルをパラメトライズする多様体 Z (サイクル空間)上の(ベクトル束 V 値の)函数が得られる．H*(X,L) \to H*(Z,V) の対応が（一般化された意味での）Radon--Penrose 変換であるが，この変換の像と核を表現論を援用して具体的に決定した．
最新の結果を 2017 年のトポロジー火曜セミナーとリー群論・表現論セミナーの合同セミナー（東京大学），2018 年のTokyo-Lyon Conference で成果発表した．
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