| 研究課題/領域番号 |
16K05123
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| 研究機関 | 新潟大学 |
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研究代表者 |
長谷川 敬三 新潟大学, 人文社会・教育科学系, 教授 (00208480)
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| 研究分担者 |
神島 芳宣 城西大学, 理学部, 教授 (10125304)
塚田 和美 お茶の水女子大学, 基幹研究院, 教授 (30163760)
守屋 克洋 筑波大学, 数理物質系, 助教 (50322011)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | 局所共形ケーラー構造 / ユニモジュラーリー群 / 等質ケーラー多様体 / 等質佐々木多様体 |
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| 研究実績の概要 |
等質局所共形ケーラー多様体の分類および構造定理に関する一連の論文が出版された。特に「コンパクト等質局所共形ケーラー多様体は旗多様体上の１次元複素トーラスをファイバーとする正則ファイバーバンドルの構造を持つ。また，その付随するリー微分形式は平行になる, すなわちVaisman構造を持つ」を示した。この結果の一つの拡張の方向として，冪零リー群および半単純リー群を含むユニモジュラーリー群の等質多様体上の局所共形ケーラー構造，すなわち，ユニモジュラー等質局所共形ケーラー多様体の分類および構造定理に関する研究を進め，以下に述べる結果を得た。
1. Vaisman型局所共形ケーラー・ユニモジュラーリー群のリー環は，R x sl(2), R x su(2), R x nのいずれかに分類される。ここで，Rは実数，nは奇数次元Heisenberg リー環。2. 単連結Vaisman型局所共形ケーラー・ユニモジュラー等質多様体は，R x Sと表される。ここで，Sは単連結等質ユニモジュラー佐々木多様体，さらに，Sは単連結簡約等質ケーラー多様体上の，いわゆる量子化として捉えられる。2の結果において，単連結等質ユニモジュラー佐々木多様体の分類は独立した結果としても捉えられる。また，単連結ユニモジュラー等質ケーラー多様体は簡約型である，との結果も独立した結果としても捉えられる。
ユニモジュラー等質ケーラー多様体に関する先行研究として基本的な論文[J. Hano, On Kaehlerian homogeneous
spaces of unimodular Lie groups, Amer. J. Math.,1957]があり，一方，一般の等質ケーラー多様体の分類に関する多くの結果もあるが，上記の諸結果はユニモジュラー等質多様体上の複素幾何学的な構造に関する新たな重要かつ基本的な結果であると考える。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
「研究実績の概要」に述べたように，ユニモジュラー等質局所共形ケーラー多様体の分類および構造定理に関する研究において，重要かつ基本的な結果が得られた。プレプリント「Homogeneous Sasaki and Vaisman manifolds of unimodular Lie groups」(D. Alekseevsky, V. Cortes, K. Hasegawa and Y. Kamishima)は投稿の準備中である。
研究の一環として，国際研究集会も積極的に主催している：第4回 国際研究集会「Complex Geometry and Lie Groups」2016年3 月 22 日～26 日，奈良，国際研究集会「Quaternionic Differential Geometry and its related Topics」２０１６年9月7日～９日, 東京，を共同主催した。また，第5回 国際研究集会「Complex Geometry and Lie Groups」を次回はイタリアにて開催の予定である。
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| 今後の研究の推進方策 |
これまでに得られた，等質局所共形ケーラー多様体の分類および構造定理に関する研究成果に基づき，さらに研究を進める。特に，Vaisman型局所共形ケーラー構造は比較的強い条件であり，非Vaisman型等質局所共形ケーラー多様体について研究を進める必要がある。すでに，非Vaisman型簡易等質所共形ケーラー多様体の例を得ているが，一般論としての結果を目指す。一方，コンパクト局所等質エルミート多様体，特にコンパクト局所等質ケーラー多様体，コンパクト局所等質局所共形ケーラー多様体等の「局所等質複素多様体の研究」に非常に興味を持っている。予想として，「冪零多様体は非ケーラー局所等質複素多様体であるが，その左不変複素構造はすべて複素アファイン空間であり，その複素変形はまた左不変である」も興味ある今後の研究課題である。
研究の一環として，第１回研究集会「複素幾何学とリー群」2007年，新潟市，から始めて5回目になる，
第5回 国際研究集会「Complex Geometry and Lie Groups」を2017年度中にイタリアにて開催の予定である。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
2017年度中の海外における研究活動に資金が必要な為。特に，第５回国際研究集会「Complex Geometry and Lie Groups」の開催をイタリアにて2017年度以降に予定している。
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| 次年度使用額の使用計画 |
第5回国際研究集会「Complex Geometry and Lie Groups」をイタリアにて主催する予定，前回と同様に期間は１週間程度，講演者25名程度，参加者60名程度を見込んでいる。前回と同様に，トリノ大学のFino，大阪大学の後藤氏との共同開催の予定である。
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