| 研究課題/領域番号 |
16K05123
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| 研究機関 | 新潟大学 |
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研究代表者 |
長谷川 敬三 新潟大学, 人文社会科学系, フェロー (00208480)
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| 研究分担者 |
神島 芳宣 城西大学, 理学部, 客員教授 (10125304)
塚田 和美 お茶の水女子大学, 名誉教授 (30163760)
守屋 克洋 筑波大学, 数理物質系, 助教 (50322011)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| キーワード | ユニモジュラー・リー群 / 佐々木構造 / Vaisman構造 / CR構造 |
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| 研究実績の概要 |
単連結ユニモジュラー等質Vaisman多様体および等質佐々木多様体の分類問題を解決した論文「D. Alekseevsky, K. Hasegawa and Y. Kamishima, Homogeneous Sasaki and Vaisman manifolds of unimodular Lie groups」は国際的学術誌であるNagoya Mathematical Journal, Vol. 8 (2019), 1-14. に掲載された。この論文において，Modificationにより複素解析多様体としての構造定理を示したが，その後，この論文の結果に基づき，ユニモジュラーリー群の場合に可能なModificationをすべて決定することで，ユニモジュラー佐々木およびVaismanリー群の完全な分類を得た (「Unimodular Sasaki and Vaisman Lie groups」arXiv:2004.02112)。 すなわち，対応するリー環の言葉で述べると，Modificationを除いて「ユニモジュラーVaismanリー環はR x sl(2), R x su(2), R x nのいずれか」に分類され，同様に，「ユニモジュラー佐々木リー環はsl(2), su(2), nのいずれか」 に分類さる。ここで，nはハイゼンベルグ・リー環である。これらのうち，R x sl(2), R x su(2)のModificationは自明なもののみで，R x nのModificationとしてのユニモジュラー可解リー群を決定した。さらに，これらのリー環上の（Vaisman構造の有無に関わらない）左不変な複素構造を決定できた。この結果は，これらのリー群上のさらなる複素幾何学的構造の研究の基にもなるものです。そのひとつとして，最近，発展的な研究として「ユニモジュラーCRリー群の分類」および「ユニモジュラー佐々木リー群を同じリー群上のCRリー構造のモジュライ空間の中で位置づける」問題をテーマに取り組んでいる。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
「研究実績の概要」に述べたように，ユニモジュラー等質佐々木多様体およびユニモジュラーVaisman等質多様体に関する諸結果を得た。「D. Alekseevsky, K. Hasegawa and Y. Kamishima, Homogeneous Sasaki and Vaisman manifolds of unimodular Lie groups」は著名な国際的学術誌であるNagoya Mathematical Journal (2019)に掲載された。今後の発展的な研究として「ユニモジュラー・リー群上のCRリー構造のモジュライ空間に関する研究を進めている。
研究活動の一環として，第6回 国際研究集会「Complex Geometry and Lie Groups」2021年2月14日~18日，朱鷺メッセ，新潟市，「ホームページ：https://sites.google.com/site/annafino/the-6th-workshop-complex-geometry-and-lie-group」を予定している。
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| 今後の研究の推進方策 |
研究対象を，等質佐々木多様体からよりそれらを特殊な場合として含む等質CR多様へ広げることで，佐々木構造についてもより深い理解が得られるものと考えます。CR構造は代数，幾何学からさらに解析的な考察も重要になり，難しさが増すとともに奥深さも増し研究のやりがいを感じます。上記に述べた様に現在，「ユニモジュラー佐々木リー群の同じリー群上のCRリー構造のモジュライ空間の中で位置づけ」をテーマに取り組んでいる。上記のプレプリント「Unimodular Sasaki and Vaisman Lie groups」arXiv:2004.02112) において，新しい結果として，ハイゼンベルグ・リー環上の複素構造を決定した。一般の冪零リー環上の複素構造に関して，予想として「冪零 Lie 群上の等質複素構造は複素アファイン空間に双正則同型である」および「冪零 Lie 群上の等質複素構造の変形はまた等質 であり，したがって複素アファイン空間に双正則同型で ある」も長年抱えてきた問題です。上記の結果は第一歩といえるもので，今後も研究を続けたい。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
2019年度中に計画していた国際研究集会は諸事情により2020年5月11日~15日に決定していた。さらに新型コロナウイルス感染症の拡大により2021年2月14日～18日に延期とした。研究会ホームページは第6回 国際研究集会「Complex Geometry and Lie Groups」朱鷺メッセ，新潟市，ホームページ：https://sites.google.com/site/annafino/the-6th-workshop-complex-geometry-and-lie-group
研究者招聘，会場の設営等の費用に当研究費をあてるため予算を次年度に繰り越した。
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