| 研究課題/領域番号 |
16K05124
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| 研究機関 | 金沢大学 |
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研究代表者 |
加須栄 篤 金沢大学, 数物科学系, 教授 (40152657)
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| 研究分担者 |
服部 多恵 石川工業高等専門学校, その他部局等, 講師 (40569365) [辞退]
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | ディリクレエネルギ‐有限関数 / ディリクレ形式 / 倉持境界 / ランダムウォーク / モスコ収束 |
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| 研究実績の概要 |
可遷的ネットワーク（可逆マルコフ鎖）の理想境界として，倉持境界を考える．ディリクレエネルギー有限な関数は倉持境界へのトレースを持ち，それを境界値とする関数の中で最小のディリクレエネルギーを持つものがただ一つ存在し、それはディリクレエネルギー有限な調和関数である. そのエネルギーを境界値の関数のエネルギーとして定めることによって倉持境界上の誘導ディリクレ形式が定まる．また、ネットワークの有界領域（有限部分集合）に対しても，その境界上の関数空間（この場合は有限次元のベクトル空間である）に同様の方法で（有限次元）ディリクレ形式が定まる．
本研究の主成果として，次のことを証明した：増加する有界領域列がネットワーク全体を取りつくすとき、各有界領域の境界上の誘導ディリクレ形式は、倉持境界上の誘導ディリクレ形式にモスコ収束する．
エネルギー有限な関数はランダムウォークに沿ってほとんど確実に有限の値に収束することが知られている。これからランダムウォークは倉持境界に収束することが証明され、関数の極限値はランダムウォークの収束点での関数のトレースのとる値になる。
これらによって倉持コンパクト化は、ディリクレエネルギー有限な関数空間を表現するものであることを明確にしたことになる．対象を関数からエネルギー有限な写像へ広げて考えるとき、その無限遠点での挙動把握には、倉持境界での振る舞いを如何に捉えるかが問題となる．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
研究実績の概要で述べたように、可遷的ネットワーク（可逆マルコフ鎖）の理想境界として、倉持境界がディリクレエネルギー有限な関数のなす関数空間を表現することを明示し、有限領域の境界上の誘導ディリクレ空間が倉持境界上の誘導ディリクレ空間にモスコ収束することを示すに至っている。
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| 今後の研究の推進方策 |
ネットワークから重み付きリーマン多様体に考察対象をシフトする。技術的には異なる面があるが、エネルギー概念はつながっている。上記成果はそのまま重み付きリーマン空間に成立すると目論む。
エネルギー有限写像の境界付近での挙動の解析が重要となる。過去の倉持境界の研究の動機となった研究課題を知る必要があろう。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
分担者服部多恵が出産準備のため計画使用が不可となり分担金を繰り越したため。
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| 次年度使用額の使用計画 |
分担者服部多恵が出産育児期間終了後研究分担者に復帰し、繰越金を使用予定。
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