| 研究実績の概要 |
前年度に、主グラフと補助グラフが作る２つの隣接作用素が可換になる有限正則ケーラーグラフを頂点数と次数とに関する条件の下で構成できることがわかったので、これらのグラフのゼータ関数の性質について考察を行った。
まず (p,q)-閉二色彩道を用いて定義されたゼータ関数の正則性を調べるために、2色彩道による酔歩の生成作用素である (p,q)-隣接作用素を考える。ペロン・フロベニウスの定理によりその最大実固有値が存在する。その対数を (p,q)-エントロピーとすると、(p,q)-隣接作用素のトレースを計算することで、実部がエントロピーより大きい範囲で (p,q)-隣接作用素に関連する行列の行列式として (p,q)-ゼータ関数を表示することができた。この結果 (p,q)-ゼータ関数は複素数平面全域で有理関数であり、実部がエントロピーより大きい範囲で正則関数になる。これを応用することで (p,q)-閉二色彩道の本数の長さに関する漸近挙動を得た。
次に、主グラフと補助グラフとが作る２つの隣接作用素が可換になる有限正則ケーラーグラフに関して考察を進めた。正則ケーラーグラフであることからこの2つの作用素の可換性が全ての (p,q) について (p,q)-隣接作用素と推移作用素が対称作用素であることを保証しその固有値が全て実数になることがわかった。更に同時対角化可能であることから (p,q)-ゼータ関数が主グラフと補助グラフが作る２つの隣接作用素の固有値で完全に記述できることがわかった。
なお、前年度の考察を基にマルタで行われた国際研究集会 2MCGTC でケーラーグラフの構成について報告を行い、ギリシャで行われた国際研究集会 DIFGEO2017 で佐々木磁場の軌道に関する中間発表を行った。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
今年度の計画としてはおおむね順調に進展しているが、昨年度亡父の相続関係で時間を取られて取りやめた国内出張とその時に行う予定であった情報収集が今年度にずれ込んだことの遅れをまだ取り戻すに到ってはいない。
研究内容としては、ケーラーグラフに関しては、前年度に得られた結果を国際研究集会２MCGTC(マルタ) で中間発表を行った。また (p,q)-ゼータ関数を (p,q)-隣接作用素を用いて表すという通常グラフに対する結果の一般化を行った上で、主グラフと補助グラフの隣接作用素が可換な場合に考察を行うことで、この条件の重要性を明確にすることができた。この考察は次年度の L-関数の考察につながるものであり、今回の考察で新たに、主グラフと補助グラフの隣接作用素が非可換であるが (p,q)-隣接作用素の固有値が全て実数である例を見つけることができ、申請時には計画していなかった考察に対する手がかりを得ることができた。
また連続モデルとしての佐々木磁場に関しては、線織実超曲面に関する特徴付けを行い、特に複素双曲空間内のA型超曲面の考察に関して国際研究集会 DIFGEO2017 (ギリシャ)において研究発表を行った。
国内においても福岡での研究集会において招待講演を行うなど、今年度としては順調に進展しているが、2度の国際研究集会において中間発表を行ったこともあり、初年度の国内での情報収集に関する若干の遅れ分は次年度以降に持ち越すことになった。
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| 今後の研究の推進方策 |
29年度の研究過程で、主グラフと補助グラフの隣接作用素は可換ではないが (1,1)-隣接作用素の固有値が全て実数になる例が見つかった。可換条件を課した場合、頂点数が4の倍数に2を足したもので主次数補助次数ともに奇数であるような頂点推移的なケーラーグラフを構成することが困難であった。残念ながら不可能性に証明は完成していないが、研究者はこのようなケーラーグラフの構成は不可能であると考えている。そこで上記の例を基に、ケーラーグラフの合同変換を行えば疑似可換性とよぶべき性質が成り立つケーラーグラフについて考察する予定である。疑似可換性が (1,1)-隣接行列に対して固有値の実性を保証することになるであろうと思われるが、更に (p,q)-隣接作用素についてはどのようになるか考察したい。同時対角化という性質は成り立たないので固有関数の考察は困難であると考えられるがどの程度まで情報が得られるか考察したい。またゼータ関数だけではなく L関数についても考察を進める予定である。
また、29年度に得られた結果を基にトルコで開催される国際研究集会(ICRAPAM2018) で口頭発表を行い、ブルガリアでの国際研究集会 (ICDG2018)では30年度前半までに行った研究も併せて口頭発表を行う予定である。ブルガリアの研究集会には連携研究者であるBao教授も参加を予定しているので現地で積極的に共同研究を行う。またルーマニア・ヤシ工科大学を訪問し磁場の考察を行っているMunteanu教授 Druta教授や測地線の考察を行っている Bejan 教授と討議を行い、今後の研究に役立てる予定である。ついて学術雑誌に論文投稿を行う。
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