| 研究実績の概要 |
Tom Coates, Alessio Corti, Hsian-Hua Tsengとの共同研究においてはトーリック軌道体に対するミラー対称性を調べ，大同変量子コホモロジーに対するホッジ理論的ミラー対称性を一般的な設定で証明した．トーリック軌道体のミラーとして，極大体積極限に沿って対数的特異性をもつランダウ・ギンズブルグ模型を導入し，それに付随する対数的かつ形式的な齋藤構造がトーリック軌道体の量子コホモロジーD加群と同型であることを示した．さらにこの同型の下で齋藤構造の高次留数ペアリングが量子コホモロジーのポアンカレペアリングと一致すること，またこの同型が極大体積極限の小さな近傍で解析的になることを証明した．この結果の副産物としてトーリック軌道体の同変量子コホモロジーのStanley-Reistner流の組み合わせ論的記述，および同変量子D加群のGelfand-Kapranov-Zelevinsky流の記述が得られる．またトーリック軌道体の大同変量子コホモロジーの収束も従う．Todor Milanov, Yongbin Ruan, Yefeng Shenとの共同研究ではフェルマー型カラビ・ヤウ超曲面の極大対角対称性の群による商として得られる軌道体のミラー対称性を調べた．この軌道体は数値的にはカラビ・ヤウであるが，ファノ多様体に近い性質を持ち，ミラーも複素アフィン空間内の超曲面特異点として与えられる．特に大量子コホモロジーは半単純となる．種数0におけるホッジ理論的ミラー対称性を証明し，Givental-Telemanの公式を使うことにより全種数でのミラー対称性をこの場合に示した．
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