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2017 年度 実施状況報告書

グロモフ・ウィッテン理論におけるガンマ構造の研究

研究課題

研究課題/領域番号 16K05127
研究機関京都大学

研究代表者

入谷 寛  京都大学, 理学研究科, 准教授 (20448400)

研究期間 (年度) 2016-04-01 – 2019-03-31
キーワード量子コホモロジー / ミラー対称性 / グロモフ・ウィッテン理論 / クレパント解消予想 / トーリック多様体 / ガンマ構造 / ランダウ・ギンズブルグ模型 / 準保型形式
研究実績の概要

前年度までの研究ではトーリック軌道体の同変大量子コホモロジーに対するホッジ理論的ミラー対称性が明らかになっていた.本年度はその結果を使って,トーリック軌道体のクレパントではない双有理変換の下での量子コホモロジーの変化を調べた.クレパントな双有理変換(標準類を保つ変換)の下で,トーリック軌道体(およびその中の完全交叉)の量子コホモロジーが解析接続で移りあうことは報告者らの過去の研究でわかっていた.一方,クレパントではない双有理変換の下ではコホモロジーの階数が変化するため,量子コホモロジーが単なる解析接続で移りあうことは期待できない.今年度はトーリック軌道体のミラーのランダウ・ギンズブルグ模型を対数的退化を持つ点を込めて大域的に記述し,またそのことによってクレパントではない変換で移りあうトーリック軌道体の形式的量子D加群の間に直和分解の関係があることを証明した.
またTom Coates氏との共同研究では局所射影平面の高種数グロモフ・ウィッテンポテンシャルが準保型関数になることを示し,さらにこの場合のクレパント解消予想を全ての種数で解決した.本研究では3レベル構造を持つ楕円曲線のモジュライ空間上にある種の「フォック空間」の層およびその大域切断を構成し,その大域切断が適当な極限点の周りで局所射影平面およびそのなかの射影平面をつぶして得られる軌道体のグロモフ・ウィッテンポテンシャルと同一視されることを示した.これはAganagic,Bouchard,Klemmの予想を解決するものである.
以上の研究結果は次年度以降に発表の予定である.

現在までの達成度 (区分)
現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

トーリック軌道体のミラーの大域的な理解がさらに進み,クレパントではない双有理変換の下で量子コホモロジーがどのように変化するかについての研究が進んだ.また高種数におけるクレパント解消予想を局所射影平面の場合に解決し,グロモフ・ウィッテンポテンシャルの大域的な構造が明らかになっている.

今後の研究の推進方策

クレパントではない変換の下での量子コホモロジーの変化の研究をさらに進める.特に形式的量子D加群だけではなく,解析的な量子D加群の間の関係も調べていく.また量子K理論や同変量子コホモロジーに現れる差分構造についても研究を進めたい.

次年度使用額が生じた理由

次年度使用額が生じた理由は,想定していたよりも研究発表旅行をしなかったこと,また開催した国際研究集会での支出が少なかったことが挙げられる.次年度は研究旅行および国際研究集会の開催を予定している.

  • 研究成果

    (7件)

すべて 2017 その他

すべて 国際共同研究 (2件) 雑誌論文 (2件) (うち国際共著 1件、 査読あり 2件) 学会発表 (1件) (うち国際学会 1件、 招待講演 1件) 備考 (1件) 学会・シンポジウム開催 (1件)

  • [国際共同研究] University of Massachusetts, Boston(米国)

    • 国名
      米国
    • 外国機関名
      University of Massachusetts, Boston
  • [国際共同研究] Imperial College London(英国)

    • 国名
      英国
    • 外国機関名
      Imperial College London
  • [雑誌論文] A mirror construction for the big equivariant quantum cohomology of toric manifolds2017

    • 著者名/発表者名
      Hiroshi Iritani
    • 雑誌名

      Mathematische Annalen

      巻: 368 ページ: 279~316

    • DOI

      10.1007/s00208-016-1437-7

    • 査読あり
  • [雑誌論文] Seidel elements and potential functions of holomorphic disc counting2017

    • 著者名/発表者名
      Eduardo Gonzalez, Hiroshi Iritani
    • 雑誌名

      Tohoku Mathematical Journal

      巻: 69 ページ: 327~368

    • DOI

      10.2748/tmj/1505181621

    • 査読あり / 国際共著
  • [学会発表] Modularity of Gromov-Witten potentials of the local projective plane2017

    • 著者名/発表者名
      Hiroshi Iritani
    • 学会等名
      Categorical and Analytic Invariants in Algebraic Geometry V
    • 国際学会 / 招待講演
  • [備考] Hiroshi Iritani

    • URL

      https://www.math.kyoto-u.ac.jp/~iritani/

  • [学会・シンポジウム開催] Mirror Symmetry and Related Topics 20172017

URL: 

公開日: 2018-12-17   更新日: 2022-02-22  

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