グロモフ・ウィッテン理論におけるガンマ構造の研究

2018 年度 研究成果報告書

• 研究課題/領域番号: 16K05127
• 研究種目: 基盤研究(C)
• 配分区分: 基金
• 応募区分: 一般
• 研究分野: 幾何学
• 研究機関: 京都大学
• 研究代表者: 入谷 寛 京都大学, 理学研究科, 教授 (20448400)
• 研究期間 (年度): 2016-04-01 – 2019-03-31
• キーワード: グロモフ・ウィッテン理論 / ガンマ整構造 / ミラー対称性 / 量子コホモロジー / トロピカル幾何 / 保型性 / 軌道体 / 導来圏

研究成果の概要

空間の中の曲線を数え上げる理論であるグロモフ・ウィッテン理論において，ガンマ整構造と呼ばれる不思議な整数上の構造が現れる．ガンマ整構造が双有理変換の下でどのように関係しあうか，またガンマ整構造の起源は何か，という問題にとりくみ，多くの成果が得られた．Coates, Corti, Tsengとの研究では，トーリック軌道体に対するホッジ理論的ミラー対称性を確立し，Abouzaid, Ganatra, Sheridanとの研究ではガンマ類をトロピカル幾何の観点から説明することに成功した．またCoatesとの研究では局所射影平面に対するグロモフ・ウィッテンポテンシャルの準保型性を示した．

自由記述の分野

幾何学

研究成果の学術的意義や社会的意義

ガンマ整構造がグロモフ・ウィッテン理論の間の関係（関手性）とどのようにかかわっているかについての理解が深まった．特に連接層の導来圏の半直交分解と，量子コホモロジーの分解とが対応することがトーリック軌道体などの例を通じて理解できたことは重要である．また，ガンマ整構造はガンマ類と呼ばれる超越的な特性類により定まるものであり，その起源は明らかになっていなかったが，トロピカル幾何とStrominger-Yau-Zaslow描像を通じてガンマ類がどのように現れるかについて大きな理解の進展があった．