| 研究課題/領域番号 |
16K05132
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| 研究機関 | 広島大学 |
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研究代表者 |
阿賀岡 芳夫 広島大学, 理学研究科, 教授 (50192894)
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| 研究分担者 |
田丸 博士 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 教授 (50306982)
澁谷 一博 広島大学, 理学研究科, 准教授 (00569832)
奥田 隆幸 広島大学, 理学研究科, 講師 (40725131)
橋永 貴弘 北九州工業高等専門学校, 生産デザイン工学科, 講師 (40772132)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| キーワード | リーマン多様体 / 等長埋め込み / 可積分条件 / ガウス方程式 / 不変式 / 微分方程式 |
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| 研究実績の概要 |
今年度は、主に次の二つの課題に取り組んだ。
１．３次元リーマン多様体を４次元ユークリッド空間に埋め込む問題。前年度までの研究により、曲率がgenericの仮定の下、埋め込み可能となるための必要十分条件が既に求められており、その応用として計量が対角型の１変数関数の場合の条件を明示的に求めることにも既に成功している。今年度はその続きの課題として、埋め込み可能な計量のクラスを更に広い範囲の中で求める研究を行った。その結果、まだ完全解決には至れてはいないものの、ある種の埋め込み可能な対角型計量のクラスを見つけることに成功した。これは計量の対角成分が２変数関数となるものであり、解を見出すための計算が極度に難しくなるのであるが、更なる拡張を目指して研究を続けたい。
２．ガウス方程式の階数について。ガウス方程式は、一般に解くことが困難な２次の代数方程式系である。まず解の存在状況を把握するためには、この方程式が定める２次写像の微分を調べる必要がある。この計算は過去一度試みたことがあるが、今回再計算することにより、７次元リーマン多様体を１５次元のユークリッド空間に等長に埋め込む場合、genericな仮定のもとでガウス方程式の解に本質的な一意性があることが確認できた。この状況は１で扱った３次元を４次元に埋め込む場合と似た状況にあり、埋め込めるための必要十分条件が１の場合と類似の形で求められる可能性がでてきた。それを把握するためには、１の場合に出現した曲率の不変式・共変式の高次版を考察する必要があり、この課題に関しても引き続き研究をすすめたい。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究課題を遂行するためには、随所に多大な計算が必要となるのであるが、それらの計算を順調にこなして、「研究実績の概要」欄に記したような成果を得るに至っている。３次元を４次元に埋め込む研究の続きとしては、３次元を５次元に埋め込む話に取り組むのが自然に思われるところであるが、意外にも７次元を１５次元に埋め込む問題の方が解決済みの話に似ているとは、意外な発見であった。まだ残された課題は多いが、研究は順調にすすんでいるといってよい。
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| 今後の研究の推進方策 |
本来はこの年度で研究は終了となる予定であったが、最後になって新型コロナウィルス感染という予期せぬ状況に出くわし、本研究課題を１年期間延長することとなった。研究代表者は令和２年３月で大学を定年退職となったが、４月からは引き続き名誉教授として大学で研究を行う。「研究実績の概要」欄に記した課題以外にも、等質リーマン多様体の場合の研究、そのために必要な表現論的側面の基礎研究など、いくつかの課題が残されており、それらについて更に深く取り組む予定でいる。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
年度末になって新型コロナウィルス感染という予期せぬ状況に出くわし、最終年度３月に参加を予定していた研究集会及び日本数学会が直前に開催中止となった。未使用額は、次年度開催の研究集会等の場で内外の研究者と意見交換を行い、最終的な研究の総括を行うための旅費として使用する予定でいる。研究代表者は令和２年３月で大学を定年退職となったが、４月からは引き続き名誉教授として大学で研究を行う。
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