| 研究課題/領域番号 |
16K05133
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| 研究機関 | 山口大学 |
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研究代表者 |
内藤 博夫 山口大学, その他部局等(理学), 名誉教授 (10127772)
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| 研究分担者 |
井ノ口 順一 筑波大学, 数理物質系, 教授 (40309886)
間下 克哉 法政大学, 理工学部, 教授 (50157187)
中内 伸光 山口大学, 大学院創成科学研究科, 教授 (50180237)
近藤 慶 山口大学, 大学院創成科学研究科, 准教授 (70736123)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | リーマン幾何 / 対称空間 / 曲面論 / グラスマン幾何 / 等質部分多様体 |
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| 研究実績の概要 |
本研究課題は，リーマン対称空間において，等質部分多様体をモデルとする軌道型グラスマン幾何の枠組から部分多様体論の構築を目指したもので，特にグラスマン幾何的曲面論を研究目的とする。具体の研究課題は，「形式的なグラスマン幾何的曲面論が，実質的に，グラスマン幾何的曲面を許容するかを判定すること（A)」及び「実質的なグラスマン幾何的曲面論の幾何学を明らかにすること（B)」である。
(A)については，平成２８年度の研究で，問題の解決が準線形１階微分方程式系の局所解の存在に帰着することが分かった。この結果を踏まえて，平成２９年度では，グラスマン多様体のプリュッカー座標を使うことによって，当該の準線形１階微分方程式系のベクトル化に成功し，単独変数準線形１階微分方程式に関する既知の解法理論に適合する可能性を得た。この研究進展については，これまでの研究成果の点検評価を兼ね，グラスマン幾何に係る総合的な研究報告として研究代表者が口頭発表した。
(B)については，研究分担者井ノ口との共同研究として平成２８年度に点検を行っていた「３次元ノンユニモジュラー・リー群のグラスマン幾何的曲面論」を学術雑誌に投稿し掲載受理された。この成果によって，３次元リーマン等質空間のグラスマン幾何的曲面論の完全分類が達成されたほか，３次元ノンユニモジュラー・リー群のミルナー不変量とグラスマン幾何的な曲面論の変遷が深く関連していることが分かった。これらの成果は，井ノ口によって国際発表された。
また，研究分担者間下によるカルタン埋入に関する関連研究のほか，本研究課題への参画を通して，広く幾何学分野における各研究分担者による研究成果の発表が行われた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究課題の「研究目的」は，上記「研究実績の概要」で記したように，実質的なグラスマン幾何的曲面論の枠組判定（A）及びその曲面論の幾何学的考察（B）である。
(A)については，平成２８年度の成果を踏まえた準線形１階微分方程式系の解の存在問題が既存の単独変数の存在理論に帰着できる可能性を得たことにより，大きな研究進展が得られ，解の存在条件と対称空間の表現論的性質等との関連性の解明に期待ができる。その点で研究は順調に進展していると自己評価した。
(B)については，３次元リーマン等質空間のグラスマン幾何的曲面論に関する幾何学の解明が進み，本題であるリーマン対称空間のグラスマン幾何的曲面論の研究に対する予備的知見が多く得られ，今後の問題意識が具体化してきた。特に，３次元リー群に関する成果より，リーマン対称空間の多くのグラスマン幾何的曲面を構成する手法の開発が期待できそうで，これは平成３０年度の課題になる。(B)について，まだリーマン対称空間における本格的な研究着手に至っていない点で「おおむね」と自己評価した。
以上より，本研究全体としては「おおむね順調に進展している」と自己評価した。
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| 今後の研究の推進方策 |
(A)については，平成２９年度の研究で，問題となる準線形１階偏微分方程式系のベクトル化に成功し，既存の単独変数の準線形１階変微分方程式の解の存在理論との関連性が出てきた。平成３０年以降では，この関連性をより明確にし，解の存在条件を表現論的あるいは幾何学的情報に変換することを試み問題解決を図る。
(B)については，コンパクトリー群や階数１の対称空間など具体的な対称空間モデルを念頭に，先ず，グラスマン幾何的曲面を構成する手法の開発に注力し，その幾何学的性質の解明を目指す。
その上で，(A)の進展を踏まえ，準線形１階微分方程式系の解の性質という視点から(A)と(B)の融合を目指す。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
（理由）次年度使用額として約１２万円程度が生じ平成３０年度に繰り越した。そのうち７万円が学外分担者間下の分担分として，また，残り５万円が研究代表者の管理分として繰り越した。両者の繰り越しは情報収集のため予定していた研究集会参加が日程調整で参加きなかったためである。
（使用計画）繰り越し７万円については，学外分担者間下の役割分担を充実し例外型対称空間に関する関連研究の推進を図るため，平成３０年度配分予定の１５万円と併せて２２万円を集中配分し情報収集及び成果発表のための旅費として使用する予定である。また，研究代表者の管理分として繰り越した５万円も，平成３０年度に予定している研究代表者の情報収集のための旅費として合算して使用する予定である。
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