| 研究課題/領域番号 |
16K05135
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| 研究機関 | 鹿児島大学 |
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研究代表者 |
愛甲 正 鹿児島大学, 理工学域理学系, 教授 (00192831)
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| 研究分担者 |
小櫃 邦夫 鹿児島大学, 理工学域理学系, 准教授 (00325763)
田中 恵理子 鹿児島大学, 理工学域理学系, 助教 (70376979)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| キーワード | 複素フィンスラー計量 / Rizza構造 / 正則ベクトル束 / 共形的平坦性 |
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| 研究実績の概要 |
平成２９年度も前年度に引き続き，以下の２項目について研究を遂行した。
（１）コンパクトな複素多様体M上のRizza構造を許容する正則ベクトル束Eの微分幾何学の研究：
正則ベクトル束がnegativeであるとはその双対束がample（豊富）のときをいい，そのため必要十分条件は小林昭七氏によればそのtautological直線束がnegativeなことである。このことはそのベクトル束がある強い条件をみたすRizza構造を持つことに同値である。またベクトル束が負曲率のHermite構造を許容するときGriffith-negativeとよぶことにすれば，「Griffith-negativeならばnegative」であることがわかる．これらの事実を念頭にベクトル束が負曲率のRizza構造をもつときRizza-negativeであると定義し，「Rizza-negativeならばGriffiths-negative」であることを証明した。逆の問題「negative⇒Griffiths-negative」は難解な問題である。そこで「Griffiths-negative⇒Rizza-negativeか？」を検証することを主な研究課題とした。そのために，Rizza構造が複素Berwaldであって，しかもこれに同伴するHermite構造がGriffiths-negativeならばRizza-negativeであることを証明することができた。
（２）実フィンスラー計量の共形的平坦性を特徴付ける曲率テンソルの構成：
正則ベクトル束のRizza構造の場合はこの研究課題はすでに終了している。実多様体Mの接束TMのフィンスラー計量の共形的平坦性を特徴付ける曲率テンソルとして片側射影変換で不変な曲率テンソルを構成し，その消滅が実フィンスラー計量の共形的平坦性を特徴付けることを証明できた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
平成２９年度も前年度に引き続き，（１）Rizza構造を許容するコンパクトな複素多様体上の正則ベクトル束の微分幾何学と，（２）実フィンスラー計量を許容する多様体の共形幾何学を主に研究した。（１）については，計量や接続の平均化の手法を用いて研究を遂行し，ある程度の結果は得られたことから，論文として投稿する準備はほぼ整っている。また（２）の共形幾何学については、ブカレスト工科大学（ルーマニア）で開催された国際会議（DGDS-2017）及び信州大学で開催された国際会議（第15回テンゾル学会）、また第52回フィンスラー幾何学シンポジウム（新潟大学）で発表し意見交換を済ませている。現段階で計算等を最終的にチェックする必要があるとの指摘もあり，その詳細な検証は現在進行中である。
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| 今後の研究の推進方策 |
研究計画【A】Rizza構造を許容する正則ベクトル束のnegativityについての研究はD. Wu and S.T. Yauによる論文「Negative holomorphic curvature and positive canonical bundle」での研究結果のフィンスラー幾何学への拡張が重要であり，この研究課題については主に研究代表者（愛甲）が研究を進める予定である。
研究計画【B】フィンスラー幾何学における双対幾何学と共形幾何学に関する研究については，片側射影変換で不変な曲率テンソルが重要な役割を果たすことがわかってきた。この不変な曲率テンソルを介して双対幾何学との関連を，研究分担者（田中恵理子氏）の協力を得て進める予定である。
研究計画【C】正則ベクトル束の射影化束をケーラー多様体の族として扱う研究については，この射影化束の全空間をコンパクト複素多様体として捉えて，その構造層を係数とするコホモロジー群を用いて，定空間が射影代数的であるための条件を見つけることを目標とする。この研究課題については十分な結果を得ていない。この課題については研究分担者（小櫃邦夫氏）の協力を得て進める予定である。
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