| 研究課題/領域番号 |
16K05135
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| 研究機関 | 鹿児島大学 |
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研究代表者 |
愛甲 正 鹿児島大学, 理工学域理学系, 教授 (00192831)
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| 研究分担者 |
小櫃 邦夫 鹿児島大学, 理工学域理学系, 准教授 (00325763)
田中 恵理子 鹿児島大学, 理工学域理学系, 助教 (70376979)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| キーワード | Rizza構造 / Rizza-negative / 実Finsler計量の共形的平坦性 / 接続の片側射影変換 |
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| 研究実績の概要 |
（１）複素多様体M上の正則ベクトル束Eがnegativeである，またはその双対束E*がampleであることは代数幾何学的に見て非常にの重要な性質である。この性質は，微分幾何学的に考察すればEのRizza構造の曲率を用いて議論できる。ここでRizza構造とはファイバー内の原点を含む強擬凸なbalanced domainのMinkowski汎関数として一意的に定義される複素Finsler構造のことであり，Rizza-negativeという性質が自然に定義される。この性質はGriffith-negativeよりも強いことを既に証明しており，Rizza-negative⇒Griffiths-negative⇒negativeを証明できている。今年度の課題はこの逆が成立するかを研究することであった。特殊な場合として，Rizza構造が複素Berwaldである場合を研究し，Mが複素射影直線の場合にはRizza-negative⇔Griffiths-negative⇔negativeであることを示した。またコンパクトなリーマン面上のHermiteベクトル束がEinstein条件を満たす場合も成立することを証明し，プレプリントを執筆中である。
（２）実Finsler計量の共形的平坦性を特徴付ける曲率テンソルについては，Riemann幾何学におけるワイルの共形曲率テンソルの構成は不可能であると予想している。実Finsler計量の共形的変更は接束TMとMの密度直線束のテンソル積に自然な実Finsler計量を定義し，この計量の平坦性がTMのFinsler計量の共形的平坦性と同値なことを証明し，さらにそのための必要十分条件として，片側射影変換で不変な曲率テンソルを構成し，その消滅が実Finsler計量の共形的平坦性を特徴付けることを証明し，プレプリントを執筆中である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
令和元年度も前年度に引き続き，（１）コンパクトな複素多様体上の，Rizza構造を許容する正則ベクトル束の微分幾何学と，（２）実フィンスラー計量を許容する多様体の共形幾何学を主に研究した。
（１）の成果については国際会議23rd International Summer School on Global Analysis and Applications（2018年08月， Brasov, Romania）において，講演した内容を詳細に検討しプレプリント執筆中である。また（２）の共形幾何学については、国内会議第54回フィンスラー幾何学シンポジウム（2019年9月，東海大学札幌校）において，「One-sided projectivechanges of Finsler connections」として講演予定であったが，事情により出席できなかったために，研究内容について研究討議できなかった。また，この結果については、詳細な検証に時間がかかり，論文投稿とまでは至らなかった。
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| 今後の研究の推進方策 |
今年度も前年度に引き続き以下の項目について，研究代表者と研究分担者が共同で研究を遂行する予定である。
研究計画【A】Rizza構造を許容する正則ベクトル束のnegativityについての研究はD. Wu and S.T. Yauによる論文「Negative holomorphic curvature and positive canonical bundle」での研究結果のフィンスラー幾何学への拡張が重要であり，この研究課題については主に研究代表者（愛甲）が研究を進める。
研究計画【B】フィンスラー幾何学における双対幾何学と共形幾何学に関する研究については，片側射影変換で不変な曲率テンソルを構成できた。この不変な曲率テンソルの性質をさらに検証する。さらにこの不変な曲率テンソルを介して双対幾何学との関連を，研究分担者（田中氏）の協力を得て進める予定である。
研究計画【C】正則ベクトル束の射影化束をケーラー多様体の族として扱う研究については，この射影化束の全空間をコンパクト複素多様体として捉えて，その構造層を係数とするコホモロジー群を用いて，定空間が射影代数的であるための十分条件を求めた。この条件について、その幾何学的な意味や有用性について研究分担者（小櫃氏）の協力を得て検証を進める予定である。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
令和元年度はハンガリー・デブレツェン大学での研究打合せと研究発表，及び第54回フィンスラー幾何学研究集会（北海道東海大学，札幌市）での講演発表のために旅費を計画していたが，体調不良のためほとんど全ての海外出張や学会出席を取りやめることになり218,539円の未使用額がが発生した。他の研究集会への出席も考慮したが、その旅費には不足するため、次年度に繰越すことにした。
令和2年度は前年度未使用額を合算した予算を用いて，ハンガリー・デブレツェン大学またはルーマニア・ブカレスト工科大学での研究集会に出席講演するよう相手側と連絡調整中である。この研究集会に出席できない場合は、国内で開催予定の第５５回フィンスラー幾何学研究集会（開催地未定）にハンガリーまたはルーマニアより研究者を招聘して意見交換を行う予定である。
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