| 研究課題/領域番号 |
16K05138
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| 研究機関 | 東京理科大学 |
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研究代表者 |
佐古 彰史 東京理科大学, 理学部第二部数学科, 准教授 (00424200)
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| 研究分担者 |
長谷部 一気 仙台高等専門学校, 総合工学科, 講師 (60435469)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| キーワード | 非可換幾何 / 変形量子化 / ケーラー多様体 / 場の理論 |
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| 研究実績の概要 |
まず、ケーラー多様体の変形量子化を用いた非可換ケーラー多様体の構成の観点から述べる。カラベコフの方法でケーラー多様体の変形量子化を具体的に構成することを近年研究してきたが、特に局所対称なケーラー多様体についての研究成果があがり、Noncommutative Deformations of Locally Symmetric Kahler manifoldsのタイトルでJOURNAL OF GEOMETRY AND PHYSICS誌に論文が掲載された。微分方程式から代数的な漸化式に落とし込むことで具体的にスター積を構成する方法を与えた。その中で特にリーマン面に対するスター積の構成に着目して、プロシーディング論文にしたものをQuantization of Locally Symmetric Kähler manifoldsというタイトルで発表した。また、カラベコフの変形量子化を基にFOCK表現を構成して一般のケーラー多様体に対する局所的な構成法を包括的に提案した論文（Fock Representations and Deformation Quantization of Kahler Manifolds）をAdvances in Applied Clifford Algebras誌に発表した。次に、非可換空間上の場の量子論に関して述べる。スカラー場の量子論としてΦ＾３模型の量子論を考え、ある強非可換極限で場の理論を定義する。この場の理論を完全に解いた（すなわち任意のn点関数を求めた）。ユークリッド空間上の厳密な場の理論の構成が成功し、さらにそれを完全に解くことに成功した。また通常は難しいミンコフスキー空間の場の量子論の定式化も４，６次元では与えている可能性がある。2次元の場合について論じたものが、Exact solution of matricial Phi^3_2 quantum field theoryというタイトルで、4次元、6次元の場合をThe Phi^3_4 and Phi^3_6 matricial QFT models have reflection positive two-point function というタイトルでいずれもNUCLEAR PHYSICS B誌で発表した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
研究の進捗としては期待以上に進んだところと、問題点が見つかり別のアプローチが必要になっている部分が存在する。
期待以上に進んだ部分は、複素平面上のスカラー場の量子論を実現することが29年度の目標であったが、その目標が達成されたばかりではなく、その完全な解まで構成することに成功し、ある意味完全にこの問題を解決することができた。また、2次元のみならず、4次元6時限においても構成できた。さらにはこれらについて完全に量子論を解くことができ、当初の計画をはるかに超えた結果が得られた。これらの結果はユークリッド空間では数学的に厳密な定式の上で構成されている。ミンコフスキー空間での数学的に厳密な場の理論が構成されていないのは100年近い未解決問題である。今回の成果はスカラーΦ^３模型の場の理論の数学的な定式化をミンコフスキー空間でも与える可能性が示唆されていて、当初の計画にないレベルの進展が得られた。
一方で、29年度の目標のもう一つの柱であったのは非可換ケーラー多様体上のゲージ理論のソリトン解の構成であるが、まだ成果を発表する段階には至っていない。一つの要因としては、エフォートの配分として上述の場の量子論の構成に多くを費やしたことがあげられる。また、別の要因としては、ゲージ理論の性質が当初想定していたものと大きく異なっていることがわかってきたというのもある。それは、ベクトル場で書かれている微分がキリングベクトル場のみであるということに去来する。従って、その問題が簡単になるユークリッド空間の場合についての理解を今一度深める必要もあると考えられる。
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| 今後の研究の推進方策 |
これまでカラベゴフによる変形量子化によって得られた非可換ケーラー多様体を中心的な研究対象にしてきた。その非可換ケーラー多様体上のゲージ理論の厳密解であるソリトン解について考える時に、想定外の難しさがあったことは上述の通りである。そのため、幾つかの迂回ルートを試みて研究を推進する。一つは、ある種のゲージ重力対応を考えるということだ。サイバーグ・ウィッテン写像による非可換空間上のゲージ理論と可換空間上のゲージ理論の対応はよく知られているが、異なる解釈として、ゲージ理論と重力理論の対応が議論されている。これはアティヤ等によるケーラー多様体における自己双対スピン接続の存在の指摘と対応する。この対応によるエルミート計量からインスタントンの構成法を具体的に与えることにより、インスタントンを構成するなどの試みを行っている。
他の迂回ルートとしては、非可換多様体に対する制限を緩めるということだ。カラベゴフの方法により変形量子化を基礎とした非可換多様体から離れ、他の非可換多様体を模索することである。既に様々な方法が存在するが、比較的歴史が浅くまだ十分に定式化の整備が進んでいない行列正則化と呼ばれる方法に注目して、基礎的なところから幾何学を定義する試みを行っていく予定である。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
共同研究者である長谷部氏、研究協力者の前田氏などとの研究打ち合わせを行う予定であったが、日程調整がうまくいかず次年度に持ち越しとなったため。
打ち合わせを30年度、大学の夏季休業期間中などに設定し、当初予定より少し長めに取ることで、共同研究をより充実させる計画である。
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