| 研究課題/領域番号 |
16K05143
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| 研究機関 | 電気通信大学 |
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研究代表者 |
山田 裕一 電気通信大学, 大学院情報理工学研究科, 教授 (30303019)
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| 研究分担者 |
山口 耕平 電気通信大学, 大学院情報理工学研究科, 教授 (00175655)
丹下 基生 筑波大学, 数理物質系, 助教 (70452422)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| キーワード | ３次元多様体 / ４次元多様体 / デーン手術 / 枠付き絡み目 / Kirby計算 / レンズ空間 / divide knot / 特異点論 |
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| 研究実績の概要 |
デーン手術によって双曲的な結び目から“例外的に”双曲的でない３次元多様体が生じる現象は「例外的手術」と呼ばれ、低次元多様体論の１つの課題である。筆者はこの現象に関連する特殊な４次元多様体を分析したり構成したりすることを研究目標としている。Ｈ２９年度は、本務先で役職（共通教育部長）を務めることがわかっていたため、予め予算と計画を控えめに想定した。その分、研究室で論文執筆などに注力した。以下、具体的な活動実績を述べる：1.丹下基生氏（研究分担者）との共著論文が学術誌に掲載された。同じレンズ空間を生じる結び目の対に関する研究で、過去の共同研究（トーラス結び目の対）から一歩進んで、一方が双曲的結び目である対に注目した。2.可縮だが球体ではない４次元多様体の表示で知られる Mazur絡み目を含む２成分絡み目の族について、整数係数手術における例外的手術の分布に関する研究成果を日本数学会（山形大学）で講演した。論文も執筆した。3.前項の考察の対象を、ある別の絡み目にも広げた。4.前年度末に本務先（電気通信大）で開催した「微分トポロジー'17」は、海外の研究者４名の講演を含む研究集会であった。彼らの帰国は本年度(2017)のため、４月にも非公式に勉強会を開いた。5.丹下氏が運営する若手中心の勉強会「ハンドルセミナー」に毎回参加した。研究分担者の山口氏は、B.Farb-J.Wolfson達によって定義された体F上のresultant（一般化された終結式達）の組のなす空間のホモロジー群の決定について考察した。特に、体Fが複素数体の場合にはA.Kozlowski教授（ワルシャワ大学）との共同研究でこの空間のホモトピー型を完全に決定した。
上記で述べた通り、学外の研究活動は控えめな１年間であったが、論文執筆はむしろ進んだと言える。過去の研究成果を見直し再認識することもできた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究の２年目の研究活動はおおむね順調と自己評価している。理由として：(1)研究分担者との共著論文が学術誌に掲載された。(2)それとは別の単独研究について講演を行なった。(3)過去の成果を再認識して論文執筆を進めることができた。本年度(2017)に本務先で役職を担うことは数年前から想定しており、計画段階から覚悟はしていた。想像した以上に研究時間が減り、欠席しづらい会議等のためにいくつかの恒例の出張を諦めた。本来の研究そのもの（最新の研究成果を吸収し知識を拡張する等々）については、理想にはほど遠い１年間だった。その代わりに、本期間は研究室で論文執筆を進め、過去の研究成果を振り返るよう努めた。研究人生の途中でこのような１年を経験したことは価値があったと振り返ることができる。
内容的に、研究計画を変更する必要はないと考えている。さっそく始めたい活動が２つある：１つは数年前から取り組んできた、２成分絡み目の例外的手術の分布に関する最初の論文の最終調整である。２つめ：実は、この論文で展開した考察を、別の文脈で研究していた絡み目に適用できることに気づいた。この発見は貴重だった。過去の、一見無関係に思えた研究が統一・収束に向かうのを感じている。ただし、具体的な計算は面倒で、証明のための作図も大変手間がかかると見込んでいる。だが結果は興味深い。それらをうまく記述し展開するアイデアを工夫し、論文を完成させて投稿したい。適用対象を拡げることも可能かと考えている。
昨年度に入手した情報には、刺激を受けてもすぐに対処できないものがあった。例えば、３次元多様体の埋め込みと曲率の関係、４次元多様体の「trisection」に関連するカービー計算など。それらにあらためて向き合い、本研究の新展開に期待したいと考えている。
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| 今後の研究の推進方策 |
研究の推進策として、特に研究活動の計画を変更する必要はないと考えている。講演の予定として、秋に１回講演を行うことができそうである。日本数学会の仕事で秋の学会（岡山）には参加するので、今年も講演応募したいと考えている。2017年度に学外での活動が少なかったためか、残念ながら現時点では国際数学者会議やサテライト会議についての情報を得られていない。
日常の心がけとして、仕事の優先順序と配分（特に、自身の研究と研究分野の仲間や後輩への貢献との配分）に注意して研究活動を行いたい。大学教員としての仕事は複雑さを増して量も増えており、バランスの良い判断が大切になっているのを感じる。計算機環境が変化していることにも注意が必要である。セキュリティのための設定、予算削減のための不便さなど、苦手ではあるが避けることはできず、対処していく必要がある。新しい周辺機器も現れていると聞く。便利なツールは気後れすることなく導入したい。昨年度(2017)、計算機と大型書棚を中心に研究室の環境を整備・更新することができた。ソフトウェア等の更新・維持は必要である。論文や講演資料の挿入図は、美しく正確であるほうが読者や聴衆に意図が良く伝わる。所持するプリンタやスキャナが時代遅れになりつつあるので、新規製品の調達を検討している。
研究テーマに変更はない：引き続き、２成分絡み目の例外的手術の４次元多様体論への応用を研究の主軸として進める。この課題の周辺に新展開の予兆を見つけている。このまま論文執筆と研究環境の向上に力を入れたいと考えている。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
筆者は2015年度から３年間、毎年、丹下基生氏、安部哲哉氏（現：立教大）と 研究集会「微分トポロジー」を開催してきた。しかし本年度、筆者は別の欄で述べた理由により世話人を外れ、集会にも部分参加となった。開催時期は毎年３月中旬・下旬で、日本数学会の会合に近づけて遠方の研究者が参加しやすいよう工夫している。年度末のため、どの程度予算を確保するかは毎年悩んでいる。今回は微額の余剰が生じた。次年度使用額はわずかなので、備品の購入で早々に尽きてしまうと考えられる。
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| 備考 |
過去の研究成果、未刊行論文を再認識して数年ぶりに「Published Papers」リストを更新した．
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