| 研究課題/領域番号 |
16K05143
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| 研究機関 | 電気通信大学 |
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研究代表者 |
山田 裕一 電気通信大学, 大学院情報理工学研究科, 教授 (30303019)
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| 研究分担者 |
山口 耕平 電気通信大学, 大学院情報理工学研究科, 教授 (00175655)
丹下 基生 筑波大学, 数理物質系, 准教授 (70452422)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| キーワード | ４次元多様体 / ３次元多様体 / デーン手術 / Kirby計算 / 枠付き絡み目 / レンズ空間 / ディバイド表示 |
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| 研究実績の概要 |
デーン手術によって双曲的な結び目から“例外的に”双曲的でない3次元多様体が生じる現象は「例外的手術」と呼ばれ、低次元多様体論の1つの課題である。 筆者はこの現象に関連する特殊な4次元多様体を構成したり分析したりすることを研究目標としている。令和元年度は、本務先での研究以外の仕事量が想定外に増え、研究活動の一部を断念せざるを得なかった。年度末には新型肺炎コロナウイルスによる研究集会中止の影響も受けた。この状況でもいくつかの研究活動は行なった。以下、具体的な活動実績を述べる:1. レンズ 空間手術をもつ結び目の divide 表示について、自分の古い結果を再認識し、過去の未完成論文の修正を行なって投稿した。貴重な査読助言に従って推敲も行なった。2. 前年度末の60分講演（D.Gabai 氏の「4次元版電球定理」証明の解説、研究集会「微分トポロジー19」）の内容を詳細に話すセミナーを依頼され、１日かけて講演した。聴衆の協力を得て理解が深まった。3. ４次元多様体論に関連するある絡み目の族について、例外的手術の分布に関する論文の執筆を進めた。前年度に扱った族との比較が興味深い。4. 研究分担者の丹下氏が運営する若手中心の勉強会「ハンドルセミナー」に毎回参加した。また、大阪大学で11月に開催された研究集会「４次元トポロジー」への参加はとても刺激となった。研究分担者の山口氏は、複素１次元射影空間からトーリック多様体への正則写像の空間のホモトピー型の研究と関連して、１次元球面からトーリック多様体への代数的ループの空間のホモトピー型の研究を Atiyah-Jones-Segal 予想の観点から研究した。逆境の１年間だったが、研究者仲間との関わりや励ましのおかげで最低限の研究活動を維持することができた。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
本研究４年目の研究活動はやや遅れていると言わざるを得ない。理由として:(1) 前年度(2018)末に同僚が転出し、後任の採用人事を秋に行なったことに影響を受けた。８,９月の出張は日本数学会以外すべて断念し、講演応募も断念した。(2) 同年度末には新型肺炎コロナウイルスの感染拡大防止のため、研究分担者の丹下氏（筑波大）と安部氏（立命館大）が主催する研究集会「微分トポロジー」が中止された。いずれも本研究の計画時には想定しなかった事態である。研究の情報交換が例年に比べて大幅に少なくなってしまった。前代未聞の逆境ではあるが、研究そのものは進行しており、研究計画を内容的に変更する必要はないと考えている。特に、当面は下記の３つの成果の論文執筆などに取り組みたい。1. 昨年度（2018年度）から引き続き、自分自身の過去の結果（レンズ空間手術の結び目のdivide表示）の意義を再認識し、未完成論文の修正を行ない投稿中である。時間をおいて見直したことで論文の質が向上したと考えたい。このテーマで未解決の課題も残っている。2. 2018年度の研究「例外的手術の分布」について対象を広げて比較を検討する課題がある。準備中の論文では計算や記述の複雑さが増し証明のための作図も手間がかかるが、時機を逸せず取り組みたい。3. 同じレンズ空間を生じる異なる結び目の対とそれから生じる４次元多様体の研究を再開させたい。この研究では、出版済の基本的な場合が欠かせないものの、ここから先の最終段階（両方が双曲的な場合）こそが意義深いと考えている。それらの他にも興味を引かれながら始めていない研究課題がいくつか残っている。本計画の研究期間の終了が近づいた今、計画を完成させつつ新展開の方向を探る時期に来たと考えている。
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| 今後の研究の推進方策 |
研究の推進策として、特に研究活動の計画を変更する必要はないと考えている。年度末から新型肺炎コロナウイルスの影響で通勤自粛が始まっている。大学教員として、遠隔講義の準備など、例年とは異なる仕事が増えるのは間違いない。同僚の転出１名と定年退職１名が連続した影響も大きい。研究の情報交換も難しくなる中、研究分担者の丹下氏のオンラインセミナーに積極的に参加と協力をしている。研究を犠牲にしないよう心して取り組みたい。過去の研究活動の経緯で計算機の周辺機器（ヘッドセット、タブレットなど）を我流ながら購入したことが、自宅待機の局面になって無駄ではなかったことに気づかされる。むしろもっと高機能な製品を選び、新製品に更新しておけばよかったと反省する。描画ソフトを研究室のＰＣに限定したことも失敗だった。セキュリティのための日常的・継続的な情報収集や管理作業などももっと必要であった。今後はこれらの反省をもとに活動したい。ただし、研究そのものについて特に反省点はない。自宅でも研究時間を確保して研究を維持したい。研究テーマにも変更はない:引き続き、2成分絡み目の例外的手術の4次元多様体論への応用を研究の主軸として進める。未経験の授業準備などを通して気づいたこととして、研究面でも、慣れきってしまった基礎的な事項の再確認も有意義なことと思われる。数学会の委員を務めたことをきっかけに他分野への関心、特に良書への興味が広がり、研究に良い影響が及んでいると感じている。過去の成果を見直して新たな価値を再発見し、現時点にふさわしい形に修正する試みも続けたい。本計画の研究期間は終了に近づいているので、内容的な仕上げを意識しつつ、新展開の模索を始めたい。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
理由が３つ重なった:(1) 昨年度(2018)からの繰越があった。(2) 2018年度末に同僚が転出し後任の採用人事が秋に行われ、研究集会への参加が減った。(3) 新型肺炎コロナウイルスの感染防止のため、最も重要視していた年度末の研究集会が中止になった。(1)については昨年度の報告で述べた通り。研究計画の時点で、H29年度に役職で多忙になり研究活動が制限されることを予想して予算を少なめに計画を立てた。H30年度はその反動として、より多くの学外活動がしたいと期待していた。ところが実際には、研究室で研究を進め、地道に論文を執筆することが意外に捗り、その側に傾倒した。(3)については過去数年の少額の次年度使用と同一の理由である。筆者はH27年から3年間毎年、丹下基生氏、安部哲哉氏と研究集会 「微分トポロジー」を開催してきた。開催時期は毎年3月であった。H30年（H29年度）からは筆者は世話人を離れたが、この集会を応援し期待する気持ちは変わらない。年度末開催のため予算を過不足なく使うのは難しいが、年間を通して最も有意義とも思えるこの活動を今後も大切にしたい。
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