| 研究課題/領域番号 |
16K05145
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| 研究機関 | 岐阜大学 |
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研究代表者 |
田中 利史 岐阜大学, 教育学部, 准教授 (60396851)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | リボン結び目 / 対称和 / 曲面 |
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| 研究実績の概要 |
本研究の目的は，結び目補空間の曲面の性質を用いてリボン結び目の特徴づけ及び分類を行うことである。Menascoは1980年代の交代絡み目の研究において，結び目補空間の曲面を調べるための有効な手法を導入し，これまで結び目理論におけるいくつかの重要な問題を解決した。この手法では曲面の交わりを調べることで結び目の図式から直接，曲面の性質を考察できる。したがって，他の研究手法と比べて，曲面を頭の中でイメージしながら結び目の性質を調べやすい。よって，このような手法をリボン結び目に用いることは大きな成果が見込まれると考えた。
当該年度では，前年度に引き続き研究課題であるリボン結び目の補空間の曲面を用いた結び目の対称和についての研究を行った。対称和は鏡映対称な位置にある２つの結び目を，対称平面上にあるいくつかの２タングルでつなぐことで得られる結び目である。したがって，この対称性を持つことが主要な特徴である。この対称性と曲面との関係を考察することで研究をさらに進めた。
その結果として，合成結び目である場合の補空間の分解球面を調べることにより，対称和の特徴づけを行うことができた。具体的には，最小ねじれ数が1である対称和に対して，それが素な結び目となるための十分条件を示した。また最小ねじれ数が1である２つの対称和結び目の連結和が最小ねじれ数2を持つための必要十分条件を与えた。さらにその帰結として，最小ねじれ数が2である結び目が無限個存在することを示した。これまでの研究成果をまとめた論文を査読付き雑誌に投稿した。関連した研究として，対称和のp彩色数に関する研究を行った。結び目の符号数の性質を用いることにより，p彩色数がpである対称和が無限個存在することを示した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
当該年度は前年度に続き，結び目の対称和の特徴づけを行っている。合成対称和に対して，その補空間の分解球面を切り貼り手法及びグラフ理論的手法を用いて調べることで，ある種の対称和が素となるための十分条件を与えた。また最小ねじれ数が1である２つの対称和の連結和が最小ねじれ数2を持つための必要十分条件を与えた。さらにその結果を用いて，対称和で最小ねじれ数が２である例を無限個構成することができた。その内容について11月に開催された研究集会「４次元トポロジー」で研究発表を行うことができた。
一方で，Menascoの手法を対称和に適用して研究を行った。その結果，一般に対称和の補空間の曲面を扱う場合，対称平面上にある2タングルと曲面との交わりの解析が重要であることが分かってきた。実際，Menascoの標準的な位置の曲面とタングルとの交わりに制限（条件）を与えることができることが分かった。
また，対称和のp彩色数の研究を行い，p彩色数がpである対称和が無限個存在することを示した。この結果は，岐阜大学教育学部研究報告（自然科学）（2018）において学術論文として発表することができた。
以上により，研究はおおむね順調に進展していると考える。
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| 今後の研究の推進方策 |
本年度はMenascoの手法を対称和に適用し，リボン結び目と対称和に関する重要な問題の解決に取り組む。特に，対称和を構成するタングルと曲面の交わりに注目し，対称和の特徴づけを行っていく。前年度までの研究とは違い，Menascoの手法を直接用いる場合，考察する対称和の最小ねじれ数に制限を付ける必要がないため，さらなる研究の進展を期待している。
Lamm の研究（Symmetric unions and ribbon knots, Osaka J. Math., Vol. 37 (2000)）において「任意のリボン結び目は結び目の対称和と同値であるか」という問題が提起された。この問題は現時点で未解決であり，この問題を解決するために，結び目の対称和でないリボン結び目が存在するかについて，Menascoの手法を用い対称和の補空間に存在するさまざまな曲面の条件を調べながら考察する。さらに，その研究を通して対称和及びリボン結び目の特徴づけ及び分類を行う。
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