| 研究課題/領域番号 |
16K05147
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| 研究機関 | 神戸大学 |
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研究代表者 |
佐藤 進 神戸大学, 理学研究科, 教授 (90345009)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | 彩色 / トーラス結び目 / 二橋結び目 / パレット数 / 曲面タングル / リボン結び目 / ダブル |
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| 研究実績の概要 |
本研究の課題は１次元および２次元の結び目の性質を、射影図という観点から明らかにすることである。本年度に行った研究は大きく２つに分けられる。
（１）n彩色可能な結び目に対して、実際に射影図を効果的にn彩色するために必要な色の数の最小値を考える。これをnパレット数という。一般にnパレット数は2+[log_2 n]以上であること、および、nが１３以下の場合、この等号が成り立つことがわかっている。今回、中村、中西との共同研究により、一般のnに対して、１次元のn彩色可能なトーラス結び目と、n彩色可能な二橋結び目のnパレット数が2+[log_2 n]であることを決定した。その証明過程から、結び目のn彩色の研究におけるパレットグラフとよばれる幾何構造の重要性がわかる。また、この結果は、２次元結び目であるn彩色可能なスパントーラス結び目とスパン二橋結び目に対しても拡張される。
（２）４次元上半空間に適切に埋め込まれたコンパクトな曲面のうち、境界が自明な１次元絡み目であるものを曲面タングルといい、特に高さ関数に関し極小点をもたないものをリボン曲面タングルという。境界に円板を貼ることにより、閉じたリボン曲面タングルは２次元の結び目を表す。このとき、２つのリボン曲面タングルが同値な２次元の結び目を表すための必要十分条件は、それらがrootingおよびその逆変形の有限列で移り合うことを示した。その応用として、２次元の結び目に対して、２次元のリボン結び目の安定類（ダブル）を対応させることができる。この結果は、２次元の結び目のカンドルなどの代数的な研究が、リボン結び目に限定して行えるという点で特に重要である。また、同様の対応を１次元の結び目で考えると自明になることから、１次元と２次元の結び目の相違点を与えている。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
本年度は、１次元と２次元の結び目の不変量の性質を射影図を通して調べることであった。その結果、研究実績の概要でも記述した通り、１次元の結び目に対するパレット数と、２次元の結び目に対するダブルの研究に関して大きく進展することができた。
nパレット数に関しては、これまでの研究では１３以下の具体的なnごとに証明手法を変えながら値を決定してきたが、パレットグラフを利用することに着目して発想を転換することにより、トーラス結び目に対しては全てのnに対する値を同時に決定することができた。そこでさらに研究を進めると、二橋結び目に対しても任意のnでの値を決定することができた。特に後者は当初の計画では予想していなかった、n彩色されたブレイドを利用しており、その重要性を示していることがわかった。
一方、曲面タングルに対してリボンという概念を導入し、リボン曲面タングル上でのrootingという操作を考案した。その結果、リボン曲面タングルの変形ではその結び目カンドルが重要な役割をはたすことがわかった。またさらに発展して、リボンとは限らない２次元の結び目から、ダブルとよばれる２次元のリボン結び目の安定類を構成することができた。これは当初計画していた不変量の性質を調べる研究だけでなく、２次元の結び目の研究に関する新しいアプローチを提供している。
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| 今後の研究の推進方策 |
本年度の研究の進捗状況を踏まえて、今後の研究の方針を次のように考えている。
（１）１次元や２次元の彩色とパレット数について、さらに研究を進めていく。現時点では、トーラス結び目および二橋結び目に対してパレット数を決定できたが、絡み目に対してはこれまでの手法がそのまま適用できないように思われるので、n彩色されたブレイドを利用することを考えたい。また、トーラス結び目と二橋結び目以外の結び目のクラス、例えばプレッツェル結び目や交代結び目の場合に調べることは基本的であり大変興味深い。
（２）２次元の結び目のダブルについて、その性質をさらに調べる。２次元のリボン結び目の安定類の不変量を用いることで、元の２次元の結び目の不変量を定義することができる。本年度の研究で、リボン曲面タングルを用いた構成方法と動画法を用いた表示方法がわかったので、それらを用いて不変量の性質を調べる。
（３）１次元と２次元の結び目の中間ともいえる、仮想結び目の不変量について研究を進める。特に不変量と局所変形の対応については、これまでの研究で奇ねじれ数に対応する、ある局所変形の決定を行っている。そこで、奇ねじれ数の元となる、ねじれ多項式（指数多項式）について、対応する局所変形を決定したい。すでにねじれ多項式を不変とする局所変形の候補は見つけてある。同じねじれ多項式をもつ２つの仮想結び目が、この局所変形で移り合うかどうかを調べる。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
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| 次年度使用額の使用計画 |
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