| 研究課題/領域番号 |
16K05156
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| 研究機関 | 東京理科大学 |
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研究代表者 |
廣瀬 進 東京理科大学, 理工学部数学科, 教授 (10264144)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | 低次元トポロジー / 写像類群 / リーマン面 / 3次元ハンドル体 / 周期的写像 / 擬アノソフ同相写像 |
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| 研究実績の概要 |
写像類群に関して主として次の研究を行った：
１）種数3の有向閉曲面上の有限群作用のデーンツイストによる表示の研究：
有向閉曲面上の有限群作用は，リーマン面上の自己同型群と見ることができ，リーマン面の研究の中心的課題の１つである．一方，写像類群はデーンツイストで生成される事が，デーンやリコリッシュにより示されており，写像類群の元を具体的にデーンツイストの積として表す事は写像の理解をする上で興味深い課題である．以前，種数４以下の有向閉曲面上の巡回群作用のデーンツイスト表示を求め，最近では，中西敏浩氏，中村豪氏により，種数2の有向閉曲面上の有限群作用のデーンツイスト表示が求められた．今年度は，以前求めた巡回群の表示をもとに，種数3の有向閉曲面の有限群作用，特に，クライン４次曲線や，フェルマー４次曲線の自己同型群についてデーンツイスト表示を求めた．
２）超楕円的ハンドル体群のねじれ係数１次ホモロジー群の研究： 金英子氏（大阪大学）との共同研究により求められた超楕円的３次元ハンドル体群の有限表示をもとに， ハンドル体の境界となっている閉曲面の１次元ホモロジー群を係数とする超楕円的３次元ハンドル体群の１次元ホモロジー群を求めた．
３）レンズ空間の Heegaard曲面の写像類群の擬アノソフ元についての研究（金英子氏（大阪大学）との共同研究）：レンズ空間の種数2のHeegaard曲面の写像類群について，Sangbum Cho氏，古宇田悠哉氏により有限表示が得られている．この写像類群の中に擬アノソフ元が存在するかどうか，種数を増大させた際の最小拡大度の漸近的挙動がどのようになるかについて予備的な考察を行った．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
以下の理由より，研究は概ね順調に進展していると判断した．
１）超楕円的な３次元ハンドル体の写像類群について，境界となっている曲面の１次ホモロジー群を係数とする１次ホモロジー群を計算することができ，閉曲面やハンドル体の写像類群等とのコホモロジー的な観点から対応関係を理解する研究への道筋がついてきた事．
２）種数3の閉曲面上の有限群の作用について知見を深めることができた．これは，代数曲線やリーマン面の自己同型群と見なせるものであり，関数論や代数幾何学の研究とのつながりも得られて来た事．
３）３次元球面やレンズ空間のヒーガード分解の写像類群の生成系や擬アノソフ元について考察する事で，3次元多様体論の研究とのつながりが得られた事．
４）向き付け不可能閉曲面の写像類群の研究に関して，グダンスク大学の Szepietowski氏との議論をする機会をもち，この研究に付いて最新の情報を得て新たな知見を得る事が出来た事．
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| 今後の研究の推進方策 |
今年度の研究で得られた知見を元に，位相幾何学的な観点からの写像類群の研究を引き続き行う．具体的には例えば以下の研究を行う．
１）ヒーガード曲面の写像類群についての研究：今年度行ったヒーガード曲面の写像類群の擬アノソフ元についての研究を更に推進し，ヒーガード種数を増大させた際の最小拡大度の漸近的挙動について考察する．また，ヒーガード曲面の写像類群が有限生成であるかは一般には未解決問題であるが，超楕円的な部分群が有限生成か有限表示可能であるかについて考察する．
２）閉曲面上の有限群作用の研究：今年度行った閉曲面上の有限群作用のデーンツイスト表示に関する研究を更に推進し，種数3の場合の研究を完成させ，さらに他の種数の場合の研究や，何らかの条件のある有限群作用についての研究を行う．
３）向き付け不可能閉曲面上の巡回群作用ついての研究：最近， Lesniak氏とSzepietowski 氏により，種数７以上の向き付け不可能閉曲面の写像類群が crosscap transposition により生成される事が明らかになった．向き付け不可能閉曲面上の周期的写像，特に対合について，crosscap transposition の積としての表示を考察し，さらに，それらの写像の軌道空間から写像がデーンツイストの積になりうるかどうかを判定する方法について考察する．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
以下の３点から，次年度使用額が生じた．
１）今年度行われた研究集会への研究者の招聘費用を確保していたが，他の研究費等からの補助が得られたため，実際の支出が少なめになった事．２）今年度予定していた国内や海外出張の計画が取りやめになってしまった事．３）今年度得られた知見について研究集会で発表を行い，さらに研究打ち合わせを行う予定がある為に，来年度多くの金額が必要になった事．
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| 次年度使用額の使用計画 |
１）東京理科大学で行うトポロジーセミナーのため，最先端の研究を行っている研究者を招聘する．２）写像類群や結び目理論を中心とする位相幾何学の諸分野について最新の成果を学び研究成果を発表する為，他大学・研究機関（国外を含む）へ出張する．３）写像類群や結び目理論を中心とする位相幾何学の諸分野について研究打ち合わせを行うために，国内外の研究者を招聘する．４）写像類群や結び目理論の研究を進展させる為の最新のソフトウェアーを利用する為の最新の電子計算機を購入する．
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