| 研究課題/領域番号 |
16K05156
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| 研究機関 | 東京理科大学 |
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研究代表者 |
廣瀬 進 東京理科大学, 理工学部数学科, 教授 (10264144)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| キーワード | 低次元トポロジー / 写像類群 / リーマン面 / 周期的写像 / 擬アノソフ同相写像 / 分岐被覆空間 |
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| 研究実績の概要 |
任意の向け付け可能でコンパクトな３次元多様体は２つのハンドル体に分解できることが知られており，その分解のことをヒーガード分解と呼び，ハンドル体の境界となっている３次元多様体内の曲面のことをヒーガード曲面と呼ぶ．ヒーガード曲面上の向きを保つ同相写像で，３次元多様体全体に拡張できるものイソトピー類のなす群をヒーガード曲面のゲーリッツ群とよぶ．一方で，３次元球面内の絡み目は，２つの自明なタングル，すなわち３次元球体内の自明なひもに分割できることが知られており，その３次元球体の境界は３次元球面内の２次元球面となっているが，それをブリッジ球面と呼ぶ．ブリッジ球面上の向きを保つ写像で，絡み目を保つ３次元球面上の同相写像に拡張するもののイソトピー類のなす群をブリッジ球面のゲーリッツ群と呼ぶ．今年度は，金英子氏（大阪大学）古宇田悠哉氏（広島大学）井口大幹氏（広島大学）との共同研究により，この２つのゲーリッツ群の関係を明らかとするとともに，それらの群の構造について研究を行ない，次の成果を得た．
１）ヒーガード分解の Hempel 距離と同様にして，ブリッジ曲面に対する距離を定めることができるが，その距離が十分大きな時に，ブリッジ球面のゲーリッツ群が有限群となることを示した．
２）ブリッジ分解の距離が１以下である時に，ブリッジ球面のゲーリッツ群が無限群となること，特に，あるブリッジ分解の安定化として現れるブリッジ分解に対して，ブリッジ球面のゲーリッツ群の中に擬アノソフ元が現れることを示した．
３）自明な結び目やホップ絡み目のブリッジ分解とその安定化の系列について，それらのゲーリッツ群の系列の中に，エントロピーの小さい擬アノソフ元の系列を作ることができ，その結果，３次元球面や３次元実射影空間のヒーガード分解の安定化の系列にたいしても同様の事実を示すことができた．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
以下の理由より，研究はやや遅れていると判断した．
１）2018年度秋より，学科の主任を担当することとなり，十分な研究時間を取ることができなかったこと．
２）以前行なっていた超楕円的なゲーリッツ群の研究を，絡み目のブリッジ球面のゲーリッツ群と関連づけることを通じて，共同研究の幅を広げることができたことが，今年度の大きな進展であったこと．
３）リーマン面上の有限群作用とそのデーンツイスト表示について，昨年度までに種数３と４の場合を行なっていたが，十分な研究時間を取ることができなかったため，それらの研究結果について明快な形でまとめ上げることができず，さらに，種数５の場合の研究を，まず巡回群作用から始める計画をしていたが，その点については全く進展を見ることができなかったこと．
４）当初，超楕円的以外の対称性を持つ有限群作用についてデーンツイスト表示などを求める計画があったが，この研究も行えなかったこと．
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| 今後の研究の推進方策 |
今年度までの研究で得られた知見を元に，位相幾何学的な観点からの写像類群や結び目等の研究を引き続き行う．具体的には例えば以下の研究を行う．
１）３次元多様体のヒーガード曲面と絡み目のブリッジ球面のゲーリッツ群についての研究：この研究を，さらに進展させ，別の方向での「安定化」による力学系的な振る舞い，Ivanov による写像類群の部分群の分類とゲーリッツ群の関係，ブリッジ曲面の「距離」とゲーリッツ群の関係のより詳細な研究を行う．
２）閉曲面上の有限群作用の研究：まずは種数５の曲面について，周期的写像の Dehn twist 表示に関する研究を行い，さらに，有限群作用の中で極大なもののリストを作成することにより研究を推進する．さらに，これらの研究のレフシェッツファイバー空間などの構成への応用についても研究を行う．
３）3 次元多様体の分岐的virtual fibrationのモノドロミーの研究：作間誠氏（広島大学）により，任意の3 次元多様体に対して，その2 重分岐被覆として円周状の曲面束が構成されることが示されているが，そのモノドロミーとして現れる写像類の力学的な振る舞いについての研究をさらに進展させる．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
（次年度使用額が生じた理由）以下の３点から，次年度使用額が生じた．１）2018年度の半ばより現在に至るまで学科主任を担当しているため，十分な研究時間が取れていないこと．２）3次元多様体のヒーガード分解の写像類群の研究について，当初計画以上に多数の研究者とともに幅広く展開することとなり，今後も研究を推進する必要が生じたこと.３）種数3と4の有向閉曲面上の有限群作用のデーンツイスト表示の研究結果の論文を作成する上でさらなる研究課題が 生じたこと.４）購入を予定していた計算機等について，種々の使用状況を考慮して，次年度まで検討を持ち越したため．
（次年度の使用計画）１）東京理科大学で行うトポロジーセミナーのため，最先端の研究を行っている研究者を招聘する．２）写像類群や結び目理論を中心とする位相幾何学の諸分野について最新の成果を学び研究成果を発表する為，他大学・研究機関（海外を含む）へ出張する．３）写像類群や結び目理論を中心とする位相幾何学の諸分野について研究打ち合わせを行うために，国内外の研究者を招聘する．４）写像類群や結び目理論の研究を進展させる為の最新のソフトウェアーを利用する為の最新の電子計算機を購入する．
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