| 研究課題/領域番号 |
16K05158
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| 研究機関 | 武蔵野美術大学 |
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研究代表者 |
圓山 憲子 武蔵野美術大学, 造形学部, 教授 (80147008)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | 位相不変量 / 3次元多様体 / キャッソン不変量 / デデキント和 |
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| 研究実績の概要 |
本研究の目的は、有理ホモロジー3球面へのCWL（Casson-Walker-Lescop）不変量について、（１）申請者のこれまでのCWL不変量に関する研究を継続的に深化させ、（２）Reidemeister-Turaev torsion と組み合わせて適用することの有効性をさらに検証し、（３）Seiberg-Witten（サイバーグ・ウィッテン）不変量や Knot Flore（フロア）ホモロジー群等の他の不変量との関係を視野に入れた具体的な研究を加え、CWL不変量が捉える幾何学的現象を記述していくことである。
（１）については、平成27年度末から平成28年度当初に、申請時の予備的研究のうち、CWL不変量の小数部分の研究を深め、ホモロジーレンズ空間の1次元ホモロジー群上に定義される絡み形式を完全に分類するための不変量一式を与えるという新しい結果を得て、平成28年4月に学術雑誌Topology and its applicationに掲載された。また、同じく予備的研究として挙げた「有理ホモロジー3球面の分布」という概念、即ち有理ホモロジー3球面に、その1次元ホモロジー群の位数とCWL不変量の値を組にして平面上にプロットし、結び目の改変、同境関係など様々な幾何学的状況を平面上で視覚的に表現するアイディアの応用では、平成28年度に不変量の値をカメラのズームインで絞り込んでいくような不等式のシステムを発見し、Rasmussenによるレンズ空間のウォカー不変量を用いた判定法の簡明な別証明を与えることができ、平成29年度に学術雑誌Knot theory and its ramificationに掲載されることになった。これは（３）の研究にも将来的に関係を持つと推察している。（２）については、平成28年度末に、門上晃久（金沢大学）と酒井健（日本大学）と共著を書き現在投稿中である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
申請時に列挙したCWL不変量に関する予備的研究をさらに進め、CWL不変量の役割の一端を明らかにすることができた。分布の論文”A distribution of rational homology 3-spherescaptured by the CWL invariant”(学術雑誌受理平成29年4月)で、「結び目の手術で得られるレンズ空間のCWL不変量の絶対値は上限を持つだろう」という予想を述べたが、これについて、結び目の手術で得られるレンズ空間のリスト（フロアホモロジー群研究者による）の7割（クラス総数10）のCWL不変量の計算を進めている。CWL不変量の絶対値の上限の存在は、有理ホモロジー同境群の構造とも関係していると推察され、同境群の中で零になるレンズ空間の上限の存在は既に証明し、論文投稿中である。
2成分絡み輪の手術で得られる有理ホモロジー球面のCWL不変量公式（2013年）の応用に関する論文執筆を進めている。
研究交流として、平成28年8月16日～18日本務校新宿サテライト教室にて武蔵野美術大学低次元トポロジー研究会を開催した。CWL不変量の主構成要素の一つであるデデキント和の値の評価システムを講演した。共同研究者の門上晃久氏、酒井健氏らの講演もあり、余裕を持った研究交流を行うことができた。
平成28年度には計画通り、Mathematicaの導入を行い、平成29年1月から文献検索機関に加入し、研究資料の閲覧や利用が可能となった。
投稿論文の査読結果に基づき、新たな進展が得られているが、エフォート配分が、研究目的（３）で述べたフロアーホモロジー不変量等他の不変量と関連付けた研究への取組が手薄になったため、おおむね順調に進展していると評価した。
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| 今後の研究の推進方策 |
平成29年度は、研究目的（１）に関しては、2成分絡み輪の手術で得られる有理ホモロジー3球面への応用について、平成28年度に得られた結果を活かしながら論文を仕上げる。また、有理同境群に関連する研究は、結果の導出方法を再検討する。平成28年度に導入したMathematicaを利用して、結び目の手術で得られるレンズ空間のCWL不変量を残りのクラスについて数値実験を行い、一般公式を導出する。
研究目的（２）に関しては、夏季に共同研究者と、CWL不変量とRT－torsion不変量を組み合わせて適用する幾何学的設定を中心に、集中して議論する計画を持っている。
研究目的（３）に関しては、申請時に計画した、SW不変量、RT-torsion、CWL不変量の間に成立する関係式の証明の精査を行う。本研究の目的である総合的研究のために、国内外の研究集会に参加する機会を設け、最新の研究動向を知り、また、情報検索システム利用の頻度を向上させ、新課題を抽出する。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
設備備品のうち、研究推進のための計算ソフトウェアが予算より約15万円低い金額で購入できた。また、予定していた国内外の研究集会へ参加することができなかった。具体的には、国内は、共同研究者のいる金沢大学、研究結果の精査を行うため京都大学の研究者を訪問する計画（予算200,000）、および、外国旅費は米国での研究集会への出席を計画を申請していた。主な理由は、共同研究者とは、夏季に本学サテライト校で研究会を3日行ったため、大きな支出にはならなかった。外国での研究集会と日程の調整が困難であった。
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| 次年度使用額の使用計画 |
国内旅費は、研究集会への複数回の出席と、共同研究者を中心とした関係分野の研究者と夏季の研究会開催を計画している。申請時、平成29年度は外国旅費を予算に組まなかったが、授業期間との調整が可能な外国での研究集会への出席を計画している。
平成28年度に加盟したMathScinetを用いて、文献収集を進める。
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