| 研究課題/領域番号 |
16K05158
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| 研究機関 | 武蔵野美術大学 |
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研究代表者 |
圓山 憲子 武蔵野美術大学, 造形学部, 教授 (80147008)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | 3次元多様体 / 位相不変量 / キャッソン不変量 / ウォーカー不変量 / レスコップ不変量 / ライデマイスター不変量 / デデキント和 |
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| 研究実績の概要 |
本研究の目的は、有理ホモロジー3球面へのCWL不変量について、（１）代表者の過去のCWL(
キャッソンー、ウォーカー、レスコップ）不変量に関する研究を継続的に深化させ、（２）Reidemeister-Turaev（ライでミスター-トゥラエフ）torsion と組み合わせて適用することの有効性をさらに検証し、（３）Seiberg-Witten（サイバーグ・ウィッテン）不変量や Knot Flore（フロア）ホモロジー群等の他の不変量との関係を視野に入れた具体的な研究を加え、CWL不変量が捉える幾何学的現象を記述していくことである。
（１）については、2成分絡み輪の手術で得られる有理ホモロジー球面のCWL不変量公式（2013年）の応用に関して、2成分絡み輪の手術の特性を利用して、参照絡み輪と参照多様体という概念を導入し、参照多様体との距離（λ－距離）をCWL不変量により定義し、λ－距離の公式の導出、その距離の整数性を示し、応用としてλ－距離による任意の整数の実現可能性や代数的分離絡み輪に沿ったレンズ空間手術可能性について、その位数が5以下の場合の制約条件をλ－距離を用いて導出し、CWL不変量を3次元多様体の向き付の同相類全体の集合上の有理数値写像としての全射性について部分的解決を与えた。2019年3月発行の研究代表者所属大学の研究紀要に掲載された。また、CWL不変量の計算方法を改良し、Liscaによる有理的に0と同境なレンズ空間の分類定理で得られた結果を、CWL不変量の観点からλ値がある不等式を満たすことを示した論文を投稿し査読待機中。（３）について、スピンＣ構造を持つ有理型ホモロジー球面に対して、Reidemeister-Turaev torsionから導かれる関数を4次元交叉形式から得られる極形式のGauss(ガウス)和で調整したものとCWLとの関係を研究した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
平成30年度は平成29年度の研究の挽回と全体の研究計画の遂行を目標にして進めたが、概要に述べた通り、3つの内容の論文執筆を行い、進捗があった。ただし、研究打ち合わせは、平成30年8月に1回行ったが、国内外の研究集会等への参加が出来なかったため記載の通りの評価とした。
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| 今後の研究の推進方策 |
今年度は、平成30年度研究実績の概容で述べた（３）に関するテーマを完成させることを中心に進める。現在、スピンＣ構造を持つ有理型ホモロジー球面に対して、Reidemeister-Turaev torsionから導かれるRT関数を4次元交叉形式から得られるGauss(ガウス)和で調整したものが位相不変量となり、CWLをホモロジー群の位数で除したものと整数をモデュロにして等式で結ばれていることをホモロジーレンズ空間まで証明できており、一般化までの方針は把握していると考えている。一般化のためには、RT-torsion の性質に関する更なる研究が必要で、具体的問題として定式化ができたと思われるので、それについて研究を進める。この研究に際しては、これまで共同研究を行ってきたRT-torsionの優れた実績を持つ門上晃久氏（金沢大学）との研究交流が欠かせないと考え、研究交流の機会を設ける計画である。
平成30年度に投稿した Geometric computation of the Dedekind sum and rationally null cobordant lens Spacesの査読結果に応じて、成果として発表を実現させる。
最終年度であるから、今後の研究課題の抽出を進めるため、国内外の研究集会への参加の機会を捉えるよう努める。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
[理由]平成29年6月実母転倒による胸椎圧迫骨折の為、寝たきりの介護（要支援2から要介護4）が始まり、現在も継続している。加えて、同年10月末から研究代表者の眼科治療の投薬副作用による体調不良（現在は回復）により計画の遅延が発生した。平成30年度は遅延挽回を目的に研究を行い論文2本を投稿したが、国内外の研究集会への参加や研究発表の機会を設定することができなかった。
[使用計画]研究資料の収集を平成30年度に引き続き進める。国内外への研究出張は、理由に述べた通り困難を伴うが、今年度の主テーマと関連して門上晃久氏（金沢大学）との集中的な研究交流を計画する。
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