| 研究実績の概要 |
結び目群間の全射準同型の存在の決定について、10交点以下の結び目に対してただ一組を除いて存在もしくは非存在を決定することができた。そのために、当初の研究計画ではSL(2,Z/pZ)を用いて証明することを予定していたが、それだけでは困難であったため、さらに有限単純群への準同型を用いたねじれアレキサンダー多項式によって非存在を証明する方法を用いた。残りの一組についてはさらに位数の大きいSL(2,Z/pZ)や有限単純群を用いて存在もしくは非存在を決定する予定である。
また、2橋結び目の結び目群間の全射準同型について、全射準同型が存在する場合の結び目群の種数について考察を行った。これによりどのような種数からどのどのような種数へは全射準同型が存在しないかの必要十分条件を与えた。特に、全射準同型の定義域の結び目の種数は像の結び目の種数の3倍マイナス1以上でないといけないことを示した。さらにその系として、種数が1の2橋結び目は極小であることを示した。ここで結び目が極小とはその結び目から自分自身か自明な結び目にしか全射準同型が存在しなことをいう。さらに種数が小さい場合に対してどのような2橋結び目が極小になるか、ならないかを完全決定した。
上記の結果の拡張として、プレッツェル結び目がどのような場合に極小になるかを考察した。特に交点が少ない場合についてはどのような結び目に全射準同型が存在するかも完全決定出来ている。この結果はさらに拡張できると思われる。
|
