Reidemeister torsionに関するJohnson理論の深化

2016 年度 実施状況報告書

• 研究課題/領域番号: 16K05161
• 研究機関: 創価大学
• 研究代表者: 北野 晃朗 創価大学, 理工学部, 教授 (90272658)
• 研究期間 (年度): 2016-04-01 – 2020-03-31
• キーワード: Reidemeister torsion / SL(2;C)-representation / fundamental group / homology sphere / Brieskorn manifold / epimorphism

研究実績の概要

3次元多様体、特にホモロジー3球面に対して、その基本群のSL(2;C)-既約表現、それぞれに対応する複素数値位相不変量であるReidemeister torsionと、それらを零点に持つ多項式の具体例や性質に関する研究を行った。
特に、先行研究を踏まえてSeifertファイバー空間の中で、特異ファイバーが3本であるBrieskornホモロジー球面の基本群のSL(2;C)-表現に関するReidemeister torsionを零点に持つ多項式に関して性質について研究を行った。
このようなBrieskornホモロジー球面は自然数の3つ組 (p,q,r) で記述される。与えられた2つのBireskornホモロジー球面に対してこの自然数の3つ組がある関係：(p,q,kr)と(p,q,r)のように2つは一致し、どれかがもう一つの約数になっている場合、これらの基本群の間には(p,q,kr)から(p,q,r)の向きに全射準同型写像が存在することが知られている。先行研究により、一般のBreiskornホモロジー球面の具体的なSL(2;C)-既約表現の表示とそれに対応するReidemeister torsionの値を書き下す公式は得られている。この公式を用いることにより、この基本群の間に全射準同型写像が存在する2つのBrieskornホモロジー球面に関して、Reidemeister torsionの値を零点に持つ多項式の間には可除性が存在することがわかった。すなわち、(p,q,kr)に対応する多項式は可約であり、(p,q,r)に対応する多項式を必ず因子として持つことが証明できた。

現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

以下のような方向で研究は進んでおり、全体としては、概ね順調に進んでいると評価している。
1. Bireskornホモロジー球面の基本群の間に全射準同型写像が存在する場合において、それら2つの多様体のReidemeister torsionを零点に持つ多項式の可除性に関する考察が進んだ。
2. 特異ファイバーが3本であるBrieskornホモロジー球面の場合の考察は、特異ファイバーが4本以上の一般のSeifertファイバーホモロジー球面の場合への一般化が期待出来る。
3. この可除性はAlexander多項式に関して成り立つ性質である。Alexander多項式、あるいはねじれAlexander多項式はReidemeister torsionと密接に関係しているので、この可除性のみならず、さらなる広がりが期待出来る。
4. その他現在3次元球面内の2つの結び目に関するsplicingの場合において, 両方がトーラス結び目の場合、あるいは両方が8の字結び目の場合に関する研究が進んでいる。

今後の研究の推進方策

今後は以下のような方向で研究を進める.
1. 特異ファイバーが4本以上の場合のReidemeister torsionを零点に持つ多項式の決定:これに関しては以前に行っていたReisemeister torsionの値に関する公式が応用できると考えている。特に一般のSeifertファイバー空間のSL(2;C)-表現のReideimeister torsionの値をSeifert indexと表現の共役類のパラメータで表す公式があるので、それを適用することを検討する。
2. 3次元球面内の2つのトーラス結び目に関するsplicingの場合のReidemeister torsionを零点に持つ多項式の決定:これに関してはこれまでの研究をさらに進め、詳細な部分の詰めの議論を行う。これも上で述べたReidemeister torsionの値に関する公式、またトーラス結び目の表現の空間の構造などからの記述を試みる。
3. 両方が8の字結び目の場合のsplicingの場合の多項式の決定:これに関しては, 8の字結び目に沿ってDehn手術をした場合の研究手法を応用することを考えている。

次年度使用額が生じた理由

本来予定をしていた海外出張の計画を変更したため。

次年度使用額の使用計画

変更した海外出張を次年度に行う。

研究成果

• [国際共同研究] Aix-Marseille University(フランス)
  • 国名: フランス
  • 外国機関名: Aix-Marseille University
• [国際共同研究] 北京大学(中国)
  • 国名: 中国
  • 外国機関名: 北京大学
• [学会発表] A polynomial invariant of a homology 3-sphere defined by Reidemeister torsion (2017)
  • 著者名/発表者名: Teruaki Kitano
  • 学会等名: The 12th East Asian School of Knots and Related Topics
  • 発表場所: 東京大学大学院数理科学研究科
  • 年月日: 2017-02-15
  • 国際学会
• [学会・シンポジウム開催] Fundamental Groups, Representations and Geometric Structures in 3-Manifold Topology (2016)
  • 発表場所: 広島大学
  • 年月日: 2016-11-21 – 2016-11-23