局所変形を用いた結び目の研究

2017 年度 実施状況報告書

• 研究課題/領域番号: 16K05162
• 研究機関: 大阪工業大学
• 研究代表者: 塚本 達也 大阪工業大学, 工学部, 准教授 (10350480)
• 研究期間 (年度): 2016-04-01 – 2021-03-31
• キーワード: 結び目 / プレッツェル結び目 / アレキサンダー多項式

研究実績の概要

本研究の目的は結び目図式を局所的に変化させる局所変形を用いて，結び目全体の構造の解明や個々の結び目の位相的性質を把握することである.平成29年度においては，単純リボン融合に関する研究に進展が見られ，特に注力した結果次のような成果が得られた.なおリボン融合は結び目理論において重要な類であるリボン結び目を生成する変形で，単純リボン融合はその特殊な場合であるが，全てではないものの非常に多くのリボン結び目を生成することができる. まず，昨年度得られた単純リボン融合の結び目の素性に関する結果を進展させて，単純リボン融合により素でない結び目が得られたときに，元の結び目はどのような結び目であるかを解明した．これにより，結び目がトーラス結び目か，３本プレッツェルか，ツイスト結び目である場合にその結び目と自身のインバース（鏡像をとり向きを逆にしたもの）との連結和として得られた結び目が，自明な結び目から単純リボン融合で得られる（単純リボン結び目という）のは実に限られた場合であることを解明した．また，単純リボン融合の研究から派生して，プレッツェル結び目の研究にも注力した．まず，プレッツェル結び目のアレキサンダー多項式を計算し，どのようなプレッツェル結び目が単純リボン結び目であるか解明した．さらにプレッツェル結び目のスライス・リボン予想の部分解も得ることができた．いずれも査読付き国際雑誌に投稿するため論文を作成中である．

現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

いくつかの局所変形について同時並行的に研究を進めているが，昨年度に引き続きは特に単純リボン融合に関する研究について，予想以上に進展し，さらにプレッツェル結び目の研究も進展したため．

今後の研究の推進方策

単純リボン融合とプレッツェル結び目に関しては得られた結果を論文にまとめ国際雑誌に投稿し，研究をさらに発展させる.その他の局所変形についての研究も計画に沿って行う.

次年度使用額が生じた理由

出張予定であった研究集会が学内業務と重なり出張することができなかったり，体調不良により参加を見合わせた研究集会もあり，予定通りに研究費を執行することができなかった．しかしながら今年度は予定していなかったものの，研究課題遂行上重要な研究集会がいくつかあるので，その出張に使用する．