| 研究課題/領域番号 |
16K05165
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| 研究機関 | 北海道大学 |
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研究代表者 |
岩崎 克則 北海道大学, 理学研究院, 教授 (00176538)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | 超幾何関数 / ガンマ乗積表示 / 隣接関係式 / 連分数展開 / 漸近展開 / 離散ラプラス法 / パンルヴェ方程式 |
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| 研究実績の概要 |
超幾何関数については、(1)ガンマ乗積表示をもつガウスの超幾何級数の特徴づけに関する研究、(2)一般超幾何級数 3F2(1)の3項間隣接関係式および連分数展開に関する研究を行った。
(1)は、与えられた超幾何級数がガンマ関数による乗積表示をもつための必要条件を与えることが目的である。超幾何級数に含まれるパラメータがどの領域に属するかによって、問題の取扱いを変える必要がある。最初に考察対象とした中央領域では、かねてより結果を得ていたが、論文の投稿過程で、従来複雑であった証明の見通しの良い簡易化が得られた。このことを踏まえて今年度に改訂した論文は受理され、出版済みとなっている。次に中央領域の境界において、超幾何級数の独立変数が有理数のときに、ガンマ乗積をもつための必要十分条件を得ることができた（大学院生の日下部と共同）。また、超幾何関数がガンマ乗積で表せないとき、実際にそのことを証明することも重要である。このことに関する研究を、連携研究者の蛭子彰仁と開始した。
(2)は、種々の重要な特殊値を含む級数である一般超幾何級数3F2(1)の高速計算に資するため、3F2(1)の急速に収束する連分数展開を構成することが目的である。そのためには、3F2(1)の3項間隣接関係式の一般論の構築や、超幾何級数の精密な漸近展開論の開発が必要である。本年度は、前者に関する論文を執筆するとともに、後者については「離散ラプラス法」と名付けた新しい漸近解析の方法を開発した（連携研究者の蛭子彰仁との共同研究）。
パンルヴェ方程式に関しては、北海道大学幾何学コロキウムで「パンルヴェ方程式の幾何学」と題する講演を行い、パンルヴェ方程式の代数幾何学と力学系理論に関して、これまでに得られている結果の解説を行った。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
ガウス超幾何級数のガンマ乗積表示に関しては、中央領域を扱った第1論文が既に受理出版され、第2論文も現在投稿中である。さらに中央領域の境界においても、独立変数が有理数の場合は、今年度に満足の行く結果が得られた。これをまとめて、第3論文とする計画を持っている。
次に一般超幾何級数3F2(1)の隣接関係式と連分数の研究においては、先ず3項間隣接関係式の一般論をまとめた論文 A. Ebisu and K. Iwasaki, Three-term relations for 3F2(1), arXiv: 1604.00480 を作成し、プレプリント・アーカイブに掲載した。また、連分数に関する論文を執筆中である。特に、連分数展開の収束性と誤差評価を得るために、超幾何級数を離散的な積分とみなして一種の離散的な鞍点法を適用し、その漸近挙動を得るという方法（離散ラプラス法）を開発できたことは、今年度の収穫である。
以上のことより、研究はおおむね順調に進んでいる。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後の推進策としては、先ず一般超幾何級数3F2(1)の連分数展開に関する論文の執筆に集中し、これを完成させることである。内容的には、3項間隣接関係式から3項間漸化式への移行、3項間漸化式から連分数への移行、得られた連分数の漸近挙動を調べるため、漸化式の劣解(recessive solution)への連続鞍点法の適用、優解(dominant solution)への離散鞍点法（離散ラプラス法）の適用、劣解と優解の Casorati 行列式の計算、更には離散鞍点法が適用できるための十分条件を確立することなど、多岐にわたる事項を総合することが必要である。既にそれぞれの材料の準備は整っているので、平成29年度は、これらを組み合わせて一本の論文にまとめ上げることが目標となる。
それが終了すると、ガウスの超幾何級数のガンマ乗積表示のテーマに戻り、境界領域において、独立変数が有理数となる場合に、既に得ている結果を論文にまとめる作業に入る。また、一般超幾何級数3F2(1)に対しても、ガンマ乗積表示の問題の考察を開始する。特に既に得ている3F2(1)の隣接関係式の理論を使って、ある特別の形の3F2(1)がガンマ乗積表示をもつための必要条件を得ることが当面の目標となる。
なお、平成29年11月に、研究代表者が世話人の一人となって、熊本大学で複素微分方程式に関する研究集会を開催する予定である。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
平成２９年３月に熊本大学で開催された研究集会「アクセサリー・パラメータ研究会」に参加するための旅費を計上していたが、本務校の年度末の重要業務と重なったため、参加できなかった。このために当該の次年度使用額が生じた。
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| 次年度使用額の使用計画 |
平成２９年１１月に、研究代表者を世話人の一人として、複素領域における微分方程式に関する研究集会を熊本大学で開催する予定である。当該経費は、そのときの講演者の招聘旅費等として使用する。
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