| 研究課題/領域番号 |
16K05165
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| 研究機関 | 北海道大学 |
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研究代表者 |
岩崎 克則 北海道大学, 理学研究院, 教授 (00176538)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | 超幾何関数 / ガンマ乗積表示 / 隣接関係式 / 連分数展開 / 漸近展開 / 離散ラプラス法 / パンルヴェ方程式 / 周期解 |
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| 研究実績の概要 |
一般超幾何関数 3F2(1) の三項間隣接関係式の一般論を展開した論文が J. Math. Anal. Appl.へ受理され、電子版が出版済みとなった (印刷中の冊子体の巻号も決定済み)。 この論文では、任意の整数シフトに対する三項間隣接関係式の存在、一意性、同時性を示した。ここで、同時性とは、3F2(1)に付随する6つの超幾何関数が同時に同一の隣接関係式を満たすことをいう。また、隣接関係式全体が、位数72の有限群対称性を持つことを示した。
一般超幾何関数 3F2(1) の比の連分数展開に関する論文を完成させ、プレプリント arXiv に掲載した(番号 1709.00159)。現在、専門誌に投稿中である。この論文では、上記の隣接関係式に関する結果を有効に応用し、精密な誤差評価を持つ超幾何連分数展開を可算無限個構成した。誤差評価を実行するために、連分数に付随する三項間漸化式の顕性解と潜性解の漸近挙動を調べる必要がある。この内、潜性解の漸近挙動を得るために、古典的な(連続)ラプラス法を用いたが、顕性解の漸近挙動を得るためには、新たに離散ラプラス法（離散鞍点法）と呼ぶ方法を開発した。上記の二論文は、連携研究者の蛭子彰仁と共著である。
超幾何級数の離散鞍点法とその応用については、超幾何方程式研究会2018(神戸大)で講演し、超幾何連分数の誤差評価については、アクセサリパラメータ研究会(熊本大)で講演した。また、代数曲面上の双有理写像の周期点の個数評価と、そのパンルヴェ方程式の周期解への応用について、玉原特殊多様体研究集会(東大玉原国際セミナーハウス)で講演した。
研究代表者を世話人の一人として、研究集会「複素微分方程式の楽しみ」(於熊本大学、2017年11月3日4日)を開催した。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
一般超幾何級数 3F2(1) の三項間隣接関係式に関する論文が、本年度に受理され、電子版が既に出版されている(冊子体は印刷中)。また、これに引き続くテーマである超幾何連分数の論文が完成し、プレプリントarXivに掲載すると共に、専門誌に投稿中である。さらに、これらに関する成果発表をいくつかの研究集会で行った。他方、ガウス超幾何関数のガンマ乗積表示の存在性に関する研究も続行しており、境界領域において得られた結果をまとめた論文を執筆中である。
研究代表者が世話人の一人となって、複素領域における微分方程式、超幾何関数、パンルヴェ型方程式等をテーマとする研究集会を開催した。連携研究者とも、超幾何連分数に関する研究打合せを密に行っている。
以上のことから、研究はおおむね順調に進んでいるといえる。
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| 今後の研究の推進方策 |
まず、ガウス超幾何関数のガンマ乗積表示に関する研究において、境界領域上で得られた結果をまとめた論文を完成させる。特に独立変数が有理数の場合に、ガンマ乗積表示をすべて決定するところが主眼となる。また、一般超幾何関数 3F2(1) に対して、ガンマ乗積表示が存在するための算術的な必要条件を見つける研究を実施する。
超幾何連分数に関しては、古典的なガウス連分数の場合にも、なお誤差の漸近挙動に関する問題が残っている。そこで、連携研究者の蛭子彰仁と協力して、この問題に対する考察を進める。そのために、離散ラプラス法の拡張を行う必要があると思われる。
なお、平成30年8月に、研究代表者を世話人の一人として「複素領域における微分方程式とその周辺」に関する研究集会を北海道大学で開催する予定である。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
参加予定の研究集会が、本務校の業務と重なったため、参加できなかった。このために、当該の次年度使用額が生じた。平成30年8月に、研究代表者を世話人の一人として「複素領域における微分方程式とその周辺」に関する研究集会を、北海道大学で開催する予定である。当該経費は、その際の講演者の招聘旅費等として使用する。
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