| 研究課題/領域番号 |
16K05166
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| 研究機関 | 防衛大学校(総合教育学群、人文社会科学群、応用科学群、電気情報学群及びシステム工学群) |
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研究代表者 |
渡辺 文彦 防衛大学校(総合教育学群、人文社会科学群、応用科学群、電気情報学群及びシステム工学群), 総合教育学群, 教授 (20274433)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| キーワード | ツイストホモロジー / 基本群 / テータ因子 / オイラー数 |
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| 研究実績の概要 |
テータ因子を２個除いた空間のツイストホモロジー類の構成について，平成２９年度の議論の中にギャップが見つかったため，その修正および厳密な証明を書くために時間を要した。まず構成については，アーベル曲面を超立方体に展開しそれに伴いテータ因子を８角形に展開する．その際構成を修正しテータ因子の２交点のうち一つを八角形の頂点，もう一つを八角形の内点にとることにした．超立方体の境界上にツイストホモロジー類が２個容易に見つかる．残るツイストホモロジー類の構成については、上述の交点の取り方より８つのツイストホモロジー類がみつかる．これは八角形の中心から頂点へ結ぶ線分に対応する．８つの間の関係式が容易に計算でき一次従属なものを排除して４つに絞り込むことができる．以上残った計６個のツイストホモロジー類の一次独立性を証明するために，T. Kohno, Proc. japan Acad., 62, Ser. A (1986), 144-147の議論を応用する．２つのテータ因子に上の６個のツイストサイクルをくっつけた複体のオイラー数を計算すると０になることが証明され，Kohnoの一般論によりこれが一次独立性を証明している．以上で平成２９年度の議論の修正が完了し，加えて一次独立性も厳密な形で証明された．しかもこれは上に述べた特殊な複体のオイラー数を計算するというある意味算術的な（計算可能な）問題に帰着させて証明した．この証明法に想到するにあたり，眞野氏（琉球大），大山氏（徳島大），土屋氏（東大）との議論が有益であった．
これとは別に，２８年度から研究中の基本群について，これも証明法を点検し９月の岡山大学の学会で結果の報告を行なった．この結果内容の詳細はホームページ上でPDFの形で公開している．
ツイストホモロジー類の構成および一次独立性の証明についての論文も近日ホームページで公開できると思う．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
4: 遅れている
理由
平成２９年度のツイストホモロジー類の構成法にギャップが見つかったため，構成法を一から点検しなおし，修正に１年がかかったため，当初３０年度に予定していた研究は，prime formによりコホモロジー類を書く以前の，テータ函数の基本性質の確認にとどまった(Mumford, Abelian varieties)．したがって「遅れている」の判定となった．
遅れた原因としては，射影空間から超平面をぬいた空間のツイストホモロジー類が良く研究されており手法が確立した分野であるのに対し，アーベル曲面からテータ因子を抜いた空間の研究は前例がなく，確立した手法もまだなく，しかも研究対象が曲がった４次元空間内の２次元サイクルを作るという幾何学的イメージを行なうのが極めて困難な研究であるため，研究中は多くの錯覚に見舞われ，議論にギャップを含む場面も多数あった．しかしながらようやく平成３０年度には，時間はかかったものの、厳密な構成および一次独立性の証明が完了した．今後第三者のレビューを受けたい．
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| 今後の研究の推進方策 |
（１）平成３０年度の２個抜いた空間の研究を応用し，令和元年度（平成３１年度）ではテータ因子をN個抜いた空間のツイストホモロジー類の考察に移る．
（２）現在FayのLNM352にあるprime formの性質について分析しているので
これを応用し超楕円曲線上のコホモロジー類の研究を行ない，解析学への応用を目指す．
（３）Kummer曲面のツイストコホモロジーを研究するため、アーベル曲面から１６個のテータ因子を抜き(-1)商をとった空間の幾何学的性質およびそれ上の局所定数層を調べる．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
次年度使用額(B-A)欄7776円は，物品購入および国内旅行の商品選定に際しては極力廉価なものになるよう心掛けていることから生じた差額と考えている．１万円未満であることからほぼ予定通りの支出と考えている．
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| 備考 |
現在公開中のホームページは防衛大学校内でのみ閲覧が可能なものである．今後ホームページを外部公開が可能な基準に達するよう整備した上で外部にも公開する予定．
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