| 研究課題/領域番号 |
16K05166
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| 研究機関 | 防衛大学校(総合教育学群、人文社会科学群、応用科学群、電気情報学群及びシステム工学群) |
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研究代表者 |
渡辺 文彦 防衛大学校(総合教育学群、人文社会科学群、応用科学群、電気情報学群及びシステム工学群), 総合教育学群, 教授 (20274433)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2023-03-31
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| キーワード | Verdier双対 / Kummer曲面 / 局所系 |
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| 研究実績の概要 |
以下の二つの知見を得た．一つ目，穴あきリーマン面の局所系係数コホモロジーの構造およびVerdier双対を用いて，このコホモロジーの双対の構造をコンパクト台の観点で明らかにし，あわせてこの構造をチェックコホモロジーにより具体的に記述した．これはCho-Matsumotoの射影直線における研究(1995)の高種数リーマン面版と考えられる．ここで得られた知見により，穴あきリーマン面上の局所系に付随する交叉形式の構造が今後明らかになると思われる．また研究手法が高次元に通用するように思われ，今後曲面上の局所系に付随する交点形式の研究に応用できる可能性がある．二つ目，Kummer曲面から16個の因子を除いた空間上に局所系を設置する方法を検討した．手順は以下の通り．アーベル曲面Xの対合をIとするとき，Xにおける16個のテータ因子DはIで不変であるがDの点のうち固定点は6点のみである．したがって，Kummer曲面から抜く16個の因子としては，Dそのものでなく固定点でblow-upして生じた16本の曲線を抜くことにすればよい．これらの曲線はXの双対アーベル曲面Yの16本のテータ因子のproper transformsであるが，この曲線上の各点はXの対合Iで固定している．この知見により，Kummer曲面から因子を抜いた空間の局所系係数コホモロジーの研究の問題の定式化が可能となる．将来的には，1次元におけるオイラー積分とWirtinger積分との関係のようなものが，2次元でも考えられるのではと思われる．
感染症流行のため，研究旅行の実施には今年度も大きな制約がかかったため，旅費の支出は連携研究者との研究打ち合わせが目的の156千円余にとどまった．令和3年度使用額（総額）も358903円となり，残額は来年度繰越の予定．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
4: 遅れている
理由
今年度は，当初自2016年度至2020年度の5か年計画の研究が延長の措置となったため実施するものである．当初計画から見て2020年度までに達成されていない項目のうち重要なものは，（イ）Kummer曲面から因子を除いた空間の局所系係数コホモロジーの研究，および（ロ）穴あきリーマン面上の積分表示で定義される超幾何型積分の解析である．2021年度は，（イ）については，連携研究者との対面での研究打ち合わせにより受けた助言により問題の定式化のための基本的考え方が定まり下準備までは完了し，（ロ）については，当初は関心の対象が微分方程式や接続問題であったところ，交叉形式の構造を調べるということに発想を転換し，そのために必要な，コンパクト台コホモロジーとチェックコホモロジーとの関係の具体的記述を行なった．いずれの項目についても研究には進展のきざしが見えてきたが，確定的な結果を得るにはもう少々やるべき必要な作業が残されている．また，研究旅行についても，3月にようやく2件の旅行が実施できたのみで，メールやオンライン機能が充実しているとはいえ，研究打ち合わせにおけるきわめて微妙な内容のやり取りは対面でないとなかなかできない部分があることを考えると，旅行実施に制約をうける現在のご時世にあって，十分に実施されているとは言えない．以上のことから，判定の区分は，（４）遅れている，とした．
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| 今後の研究の推進方策 |
やむを得ず研究期間をもう１年再延長する．令和４年度を最終年度にする予定である．（１）アーベル曲面上のテータ因子に沿った乗法的函数の臨界点の個数に関する研究の論文を今年度（または来年度）中に出版できるよう準備を行なう．（２）令和３年度の準備的研究の継続として，穴あきリーマン面における交点形式の構造を確定する研究を行う．局所系係数コホモロジーとコンパクト台コホモロジーの内積の構造を調べる研究であるが，前者のコホモロジーは2016年の研究により微分形式のベクトル空間として表現ができ，後者のコホモロジーは2021年の研究で適当な有限開被覆によるチェックコサイクルで書ける．Serre双対性により，これらのコホモロジーの元の掛け算をおこなったうえで積分をとれば内積の構造が明らかになるものと思われる．この研究の応用として，以前実施した種数２のリーマン面上の積分の解析について理解がさらに深まるのではないかと考える．（３）Kummer曲面から因子を16個抜いた空間上に局所系を定義することでテータ函数を用いた問題の定式化を行なう．これより，局所系係数コホモロジーの構造の研究あるいは乗法的函数の臨界点の個数とツイストサイクルの関係などについて調べる．（４）以上の研究および2016年度から実施してきた研究を総括する意味で研究の評価を得るための研究打ち合わせ旅行を実施する．行き先としては，この研究に関連の深い研究者が居住している，東京都目黒区（可積分系，微分方程式），札幌市（微分方程式），北見市（代数多様体と局所系），福井市（圏と関手，群論），徳島市（微分方程式），熊本市（微分方程式），福岡市（微分方程式），沖縄県西原町（可積分系，微分方程式）の中から１または２か所程度訪問するか，またはそこに居住の研究者に防衛大学校に来ていただくことを想定している．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
令和3年度も，たびたびの感染拡大または蔓延防止措置等により，研究旅行の実施は大きな制約を受けた．2021年9月実施（千葉大）および2022年3月実施（埼玉大）の日本数学会は，いずれもオンライン形式の実施となったため，用意していた旅費が支出できなくなった．その他の研究打ち合わせ等の旅行も，感染が一時下火になった3月の下旬を除けば，実施できる状況になかった．したがって旅費の支出は156558円にとどまった．物品費はほぼ図書の購入であるが，支出合計は198574円であり支出の額としては当初の計画通り例年並みといえる．したがって，次年度使用額が生じた理由は旅費が十分支出できなかったことに尽きる．この結果，令和4年度使用額は291869円となったが，物品費（主に図書購入費）に100000円弱，旅費に200000円弱（研究打ち合わせ旅行，または学会に参加し研究成果を発表する旅行，全体で計2回程度）を割り当て，諸経費も含め全体で291869円になるような支出とする予定である．
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