| 研究実績の概要 |
量子力学において時間発展を与える演算子はハミルトニアンと呼ばれるが, 量子スピン系においては,これは自己共役な行列の列により表される.この行列の最低固有値と,のこりのスペクトルの間に(系のサイズについて)一様なギャップが開いているか否かは基底状態の性質をきめる重要な問題である.ギャップがある相は臨界的な振る舞いをしない.近年このギャップをもった系の分類が注目をあつめている.これは,二つのギャップを持つハミルトニアンを,ギャップのあるハミルトニアンの連続なpathでつなぐことが出来るかという問題である.もしつなぐことが出来れば,これらのハミルトニアンは臨界現象を経ずにつながる,という意味で,本質的に同じものといえる.一般にスペクトルギャップを示すのは非常に難しい問題であり,完全に一般な量子スピン系についてこの問題を考えることは現在の技術では不可能である.しかし一次元系についてはfinitely correlated stateと呼ばれる状態を基底状態としてもつサブクラスは,ある良い条件のもとスペクトルギャップを持つということが知られている.これを含むハミルトニアンのクラスで, スペクトルギャップを含むものを導入した.さらに,この拡張されたクラスの物理的な５つの条件による特徴づけを行った.また,このクラスのopen boundary conditionの下での分類を行った.完全不変量は端状態である.さらにこの結果を用いて,バルクでのハミルトニアンの分類をfrustration free とよばれる条件を満たすクラスについて行った.
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
一次元のギャップをもつハミルトニアンについて,frustration free と呼ばれる条件は付いているが、ある程度一般な状況下に分類を行うことが出来た.また,一般的なギャップを持つハミルトニアンの構造を知ることが分類を行う上で大変重要であるが,（やはり条件はついているものの),ある程度一般の設定の下でその特徴づけを行うことが出来たことは,今後一般の設定の下で考えていくうえで重要なヒントになると考えている.また,これらの結果を論文としてまとめ,出版した.
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| 今後の研究の推進方策 |
次の課題は,まず一次元においてはfrustration free という条件を取り除くことにある.これまで得られたfrustlation free の場合の手法を改良することでできないかをまず考えたい.同時に,これまでに知られた可積分系などの例を良く理解していきたい.さらに,高次元系の分類に進みたい.高次元は,まずKitaevのquantum double modelと呼ばれるモデルについて理解し,その解析をすることでそこで何が起きているかを理解したい.
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