| 研究課題/領域番号 |
16K05171
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| 研究機関 | 東京大学 |
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研究代表者 |
緒方 芳子 東京大学, 大学院数理科学研究科, 教授 (80507955)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | 量子スピン系 / 基底状態 |
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| 研究実績の概要 |
一次元量子スピン系における、基底状態にギャップを持つハミルトニアンの分類の研究を行った。この分類では二つのハミルトニアンは、ギャップを保ったまま移りあうとき同値であるとする。特に対称性を課した場合には、ハミルトニアンの路も対称性を持つようなハミルトニアンの中にあることを要請する。今年度はこの対称性を課した分類における同値類、すなわち相をラベルする指数を定義した。考えた対称性は、on siteな対称性と、reflectionである。いずれも作用素環を用いた統計力学の枠組みにおいて考えることにより、完全に一般の状況について定義することができた。前者についての不変量は作用素環の枠組みで自然に出てくる射影表現のコホモロジー クラスと呼ばれるものである。後者についての不変量は、やはり作用素環の枠組みで系をヒルベルト空間に表現したときの左右反転に付随した符号となっている。この指数はPollmannらによる先行研究でmatrix product stateと呼ばれる状態について定義された指数の拡張となっている。さらに、統計力学の手法を用いて、この指数が、ギャップを持つハミルトニアンの分類における不変量となっていることを示した。また、同様の作用素環の枠組みを用いて、田崎晴明氏との共著で離散的な対称性を考えたときのLieb Schultz Mattisの定理を示した。これは、コホモロジー クラスが非自明なon-site 対称性を持ち並進不変性を持つような系については、「基底状態がただ一つでギャップを持たない」という状況は起こり得ないということを完全に一般的に示す定理である。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
当初の予定としては、指数を定義することは想定していなかった。幸いにして、田崎晴明氏との議論を通して、Matrix Prduct state に付随する指数について知ることができ、それが私のよく知っている道具立てでうまく一般化できることがわかるという幸運に恵まれ、指数定理を示すことができた。
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| 今後の研究の推進方策 |
一次元、および高次元の基底状態の完全分類に向けて、最近大きく進展してきたスペクトルギャップの存在証明法について学び、解析をして行く。高次元において重要と思われる、TQFTと作用素環特にAQFTについて必要な事柄を学ぶ。PEPSと呼ばれるモデル群を参考に研究を進める。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
David Perez Garcia氏を招聘したいとかねてより調整しているが、氏の大学での業務の都合で実現していない。その代わりに2019年9月に緒方がマドリッドに滞在し議論することとなった。
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