| 研究実績の概要 |
近年, スペクトルギャップを持つハミルトニアンの分類問題は理論的及び応用上の観点から様々な物理系において注目をあつめている.本研究では一次元量子スピン系という数理モデルにおいてこの分類問題を数学的に厳密に,かつ出来るだけ一般的な設定で、作用素環と量子統計力学のテクニックを合わせていくことで解析した.まず私自身が導入した, primitivityという条件を緩めたMatrix product state(MPS)のクラスについて本研究ではこのクラスの物理モデルの完全分類を行った.その結果このモデルは並進対称性を崩さずに全てつなげることができるということがわかった.これは一次元量子スピン系で対称性を考えない場合に物理的に予想される結果と一致している.さらにSPT 相という物理相の分類問題をかんがえた.これは次のようなものである.何らかの決められた対称性を持ち、ハミルトニアンのスペクトルにギャップを持つような系について二つのハミルトニアンは,スペクトルギャップと対称性を保ちながら移り合うことができる時,同値であるとする.本研究では一般のSPT相について定義できるindexを定め, さらにそれが実際に不変量であることを数学的に厳密に示した.関連して,ある種の条件のもと, 「基底状態でスペクトルギャップが開いている」という状況は起こり得ないというLieb-Schultz-Mattis type theoremを示した. これらの分類問題の解析に役に立つautomorphic equivalenceというものがHastingsにより導入されていたが, これは有限系を元に定義されていた。これを直接無限系から導出するということを行った.
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