| 研究課題/領域番号 |
16K05173
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| 研究機関 | 金沢大学 |
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研究代表者 |
伊藤 秀一 金沢大学, 数物科学系, 教授 (90159905)
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| 研究分担者 |
柴山 允瑠 京都大学, 数理解析研究所, 研究員 (40467444)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | 可積分系 / 標準形理論 / 剛性 / シンプレクティック写像 |
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| 研究実績の概要 |
解析的な写像ならびにベクトル場の範疇で，超可積分性と解析的標準化の関係についての研究を行った。とくに可積分系の剛性の問題として，シンプレクティック写像が不動点の近傍でその共鳴度に応じた第一積分をもち標準化ができると仮定したとき，その写像と可換な写像の標準化について考察した。可換性は与えられた写像との間でだけ仮定すれば十分であり，その意味で「非可換」な観点での可積分性を問題にしていることになる。これは（超）可積分系の特異点近傍での標準形問題（Liouville-Arnold の定理の拡張）に応用できる結果になっており，この結果の具体例への応用を検討した。
また，ハミルトンベクトル場とは限らない一般のベクトル場の平衡点近傍における標準化問題についても，非可換な可積分性の観点から研究を進めた。とくに，「良い性質」をもつ系であれば，可換な意味での可積分性を満たさなくても，解析的標準化が可能になることがあり得る，という予想を追求した。この研究は基本的には楕円型平衡点の場合に共鳴度を定義し，共鳴度に応じた第一積分と対称性（可換なベクトル場の存在）の存在のもとで行うとともに，楕円型とは限らない一般の平衡点の場合への拡張についても考察した。
さらに，超可積分系とは限らず一般的な可積分系の摂動問題として，「摂動によって壊れにくい」不変トーラスの存在について，過去の数値実験結果を検討し，理論的研究へのさまざまな試みを行った。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
3: やや遅れている
理由
当初は，シンプレクティックとは限らない一般の写像の超可積分性と標準化の問題を追及する予定であったが，十分な成果を得ることができなかった。また，楕円型以外の平衡点における標準化問題や（超）可積分系の解の大域的構造とその摂動問題については，研究に十分な時間を割くことができなかった。
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| 今後の研究の推進方策 |
写像の標準化問題について，シンプレクティック写像について得られた成果を速やかに論文としてまとめるとともに，超可積分なベクトル場の平衡点近傍における標準化問題について，剛性の観点からさらなる研究を進める。また，壊れにくい不変トーラスの存在問題についても超可積分系の摂動問題との関係からも積極的に研究を進めたい。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
当初の予定では，2度の海外出張を行う予定であったが，国際研究集会での成果発表のための1回だけになり，期間も最短期間だけになったため，旅費の使用が少なくなったため，次年度使用額が生じた。今後は，発表だけではなく，本研究の研究成果の評価を行ってもらうためにも，海外出張の機会を増やすとともに，物品費の使用を進めたい。
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