| 研究課題/領域番号 |
16K05173
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| 研究機関 | 金沢大学 |
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研究代表者 |
伊藤 秀一 金沢大学, 数物科学系, 教授 (90159905)
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| 研究分担者 |
柴山 允瑠 京都大学, 情報学研究科, 准教授 (40467444)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | ハミルトン力学系 / 可積分系 / バーコフ標準化 / 剛性 |
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| 研究実績の概要 |
解析的な非可換可積分ハミルトン系の特異点の近傍における作用-角変数の一般化問題を中心に研究を行なった。これは第一積分の存在という幾何学的な条件によって可積分性を規定したとき，そこから系の解の挙動を記述する座標を見つけることができるか？という問題である。第一積分が互いにポアソン可換な場合は，可積分系の基本定理といえるリウビル-アーノルドの定理が知られているが，ポアソン可換性を仮定せず，かつ第一積分のつくるレベル集合が特異点を含む場合を考察し，特異軌道に付随したポアンカレ写像に対するバーコフ標準化を通じて「解ける座標」を導入することで，可積分系のもつ剛性について調べた。ここで，特異軌道とは第一積分の特異点のつくる軌道であり，そのまわりで上記の解ける座標が導入されるために，力学系的観点から自然な条件は何かを追求し，特異軌道が共鳴状態にあっても，第一積分の個数がその共鳴度に応じた数だけあれば，系の「解ける座標」が見つかることを明らかにするとともに，共鳴度が第一積分の個数よりも大きいときについても研究した。
さらに，より基本的な問題として，自由度3以上のハミルトン系の共鳴平衡点のまわりのでのバーコフ標準形の形について研究を行なった。また，ハミルトンベクトル場とは限らない一般のベクトル場の平衡点近傍における標準化問題について，楕円型とは限らない一般の平衡点を問題にし，そこでの標準化問題について非可換可積分性との関係でさまざまな研究を行なった。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
4: 遅れている
理由
当初予定の，シンプレクティックとは限らない一般の写像の超可積分性と標準化の問題について，まだ成果を得られていない。また，楕円型以外のタイプの共鳴平衡点（不動点）でのベクトル場（写像）の標準化について，非可換可積分性との関連で十分な成果を得ることができなかった。
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| 今後の研究の推進方策 |
写像の標準化問題について，シンプレクティック写像についてすでに得ている成果を，非可換可積分ハミルトン系の特異点まわりでの「解ける座標」の存在定理と合わせて速やかに論文としてまとめる。また，共鳴度と第一積分の個数の関係について，これまでに得られた知見をもとに，剛性の観点からさらなる研究を進める。また，壊れにくい不変トーラスの存在問題についても超可積分系の摂動問題との関係からも積極的に研究を進めたい。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
当初の予定では，研究代表者が2度の海外出張を行う予定であったが，国際研究集会への参加による情報収集だけの1回だけになり，期間も最短期間だけになったため，旅費の使用が予定よりも少なくなり次年度使用額が生じた。次年度は交付額が少ないので，この使用額と合わせて，成果発表のための国内外への旅費などに有効に使用したい。
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