| 研究課題/領域番号 |
16K05173
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| 研究機関 | 神奈川大学 |
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研究代表者 |
伊藤 秀一 神奈川大学, 工学部, 教授 (90159905)
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| 研究分担者 |
柴山 允瑠 京都大学, 情報学研究科, 准教授 (40467444)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | ハミルトン力学系 / 超可積分系 / バーコフ標準形 / 写像の標準形 |
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| 研究実績の概要 |
不動点近傍における解析的写像の標準化について、可換なシンプレクティック写像の同時バーコフ標準化について考察し、共鳴度と独立な第一積分の個数に関する自然な条件のもとで、解析的な変換によって同時バーコフ標準化ができることを示した。また、そのことを用いて、超可積分ハミルトン系の一般化された作用・角変数の存在定理をより明快な形でまとめることができた。また、低次元不変トーラスの力学的特性（楕円型、双曲型等）についての仮定に関しても、自然な定式化を見出すことができた。これによって、超可積分系の特異点集合の近傍において、それに付随する共鳴度についての自然な条件のもとで適当な座標を導入することによって、系が明示的に解けることが示されたことになる。
さらに、以上の考察を一般の写像およびベクトル場の場合について拡張すること、ならびに、不動点の共鳴度に対して独立な第一積分の個数が上述の場合に比べて１つ少ない場合について研究を行なった。これらについては、ベクトル場の場合でさえ超可積分性の定義が確立されておらず、その意味で興味深い問題であるが、まとまった成果を得るまでには至らなかった。可換なベクトル場とそれらの第一積分の存在によって規定する通常の可積分性の範疇で考えても、その写像の場合への拡張を標準化との観点から追求する問題は全く解明されていないが、ベクトル場の可換性と写像の可換性には本質的な違いがあり、可積分性の定義に現れる第一積分の存在条件との関わり方ならびに写像が保つ構造（シンプレクティック構造等）との関係について、より深く理解することが今後の問題として残った。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
4: 遅れている
理由
令和２年度は、前年度に得た結果を論文としてまとめる予定であったが、より自然な条件設定などが生じて、それが遅れてしまった。また、写像の標準化の問題が遠隔授業の準備と実施に多大な時間を使うことになり、研究時間が圧迫されたことも一因になった。
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| 今後の研究の推進方策 |
現在ほとんど出来上がっている可換なシンプレクティック写像のバーコフ標準化と超可積分性についての結果を論文にまとめるとともに、それを一般のベクトル場および写像に対して拡張する問題に取り組む。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
当初は、海外の研究者に当研究の評価をしてもらうため、ならびに研究情報交換のために海外出張をする予定であった。しかし、新型コロナの感染拡大により、海外出張はもとより国内出張もできなくなったため次年度使用額が生じた。新型コロナの感染については予断を許さない状況が続いているが、海外出張や国内出張が可能になれば、それを通じて研究成果の発信や情報交換を行いたい。なお、研究に必要な図書や消耗品などの物品購入を随時行う予定である。
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