| 研究課題/領域番号 |
16K05174
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| 研究機関 | 名古屋大学 |
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研究代表者 |
伊師 英之 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 准教授 (00326068)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | 等質錐 / 正則凸錐 / ラプラス変換 / ウィシャート分布 / 指数型分布族 |
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| 研究実績の概要 |
等質錐と chordal なグラフィカルモデルに表れる凸錐の両方を含む新しい正則凸錐のクラスである「行列実現可能錐」を導入し，これによって等質錐上の幾何と解析についての様々な結果とアイディアが，より広範な凸錐の研究に拡張・応用できるようになった．実際，本年度においては行列実現可能錐の特性函数とガンマ型積分公式，そして密度関数の対数のルジャンドル変換の明示的な公式を，完全な証明とともに学術論文にまとめて公表した．とくに，ある凸錐上の正値函数のベキ乗のラプラス変換が別の函数のベキ乗とガンマ因子の積に等しいというガンマ型積分公式は，ウィシャート分布の一般化の構成において有用である一方で，双対錐を底とするチューブ領域の荷重つきベルグマン核の明示的な計算にも利用できる．このように一つの公式が多変量解析と多変数複素函数論の両方に新しい結果をもたらしたことに着目し，二つの分野（とくに指数型分布族と再生核ヒルベルト空間）のつながりについて基礎的な考察を行った．これは今後も掘り下げる価値のあるテーマと思われる．
正定値対称三重対角行列全体のなす凸錐は，上記の結果が適用できる非等質錐の典型例である．この錐上に定義されるウィシャート分布の詳しい研究（とくに分散函数の記述やモーメントの計算）をすすめた．そして関連する調和解析を深く展開し，小行列式のベキ乗の積のラプラス変換に関する Letac-Massam 予想を部分的に証明した（P. Graczyk, S. Mamane および落合啓之との共同研究）．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
4: 遅れている
理由
数理統計および関連する調和解析において新しいアイディアと多くの成果があったが，それらに時間を割いた分，当初計画していた非等質錐上のリース超函数の解析，とくに正の測度となる場合の研究については思うように進展させることができなかった．凸錐上の情報幾何については基礎的な準備を計画どおりに進めている．
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| 今後の研究の推進方策 |
当初の計画にあるリース超函数の研究を，これまでに得られたアイディアや新しく生じた問題と関連させながら進める．とくに正の測度となるリース超函数から生成される指数型分布族（ウィシャート分布）の統計学的な研究は中心的な課題である．凸錐上の情報幾何学については，これまでのヘッセ幾何に関する考察とアイディアに基づいて新しい成果を出していきたい．
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