| 研究課題/領域番号 |
16K05176
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| 研究機関 | 徳島大学 |
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研究代表者 |
大山 陽介 徳島大学, 大学院理工学研究部, 教授 (10221839)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | パンルヴェ方程式 / q-差分方程式 / 発散級数 |
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| 研究実績の概要 |
主にq-差分線型方程式の接続問題について研究を行なった。特に2階超幾何型の場合について、これまで接続問題が解かれていなかったハーン・エクストンのq-ベッセル方程式に対して接続問題を完全に決定した。発散級数の総和について1/2-位数のボレル変換という従来なかった手法を適用したものである。また、q-ウェーバー函数に関してもq-合流超幾何函数からの退化という形で接続問題を解いた。従来未解決であった、この２つの方程式の接続問題を解いたことによって、7種類ある2階q-超幾何型方程式の全てに対して接続問題が解かれたことになる。この2件に関して2017年3月に首都大学東京で行なわれた日本数学会で報告を行なったさらに、ハーン・エクストンのq-ベッセル方程式に関しては、12月の徳島大学数学談話会、1月の神戸大での超幾何研究会2017、3月の熊本でのアクセサリパラメタ研究会などでも少しずつ違った角度からの解説を行った。
主目的であるq-パンルヴェ方程式に関してはq-パンルヴェ第III, 第V型方程式の漸近解析を調べており、6月の京大での指数漸近解析での研究会ならびに7月のカナダ・サンタデールでのSIDE12で発表を行った。派生した研究としては、9月にフランス・トゥールーズ大で、12月にはフランス・レンヌ大で研究交流を行った。ともに差分方程式およびそのガロア理論に関する学位論文の海外審査員として参加する機会を得つつ、差分方程式の大域構造に関して若手研究者との交流を通じてたいへん有益な海外出張となった。
また、10月の中央大でのAGTに関するEncounter with Mathmaticsや、11月の神戸大でのパンルヴェ方程式とそのタウ函数に関する研究会にも参加して幅広い研究交流を行った。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
q-差分パンルヴェ方程式の大域解析の考察に不可欠でありながら長い間解決にほど遠かったq-差分超幾何型方程式の接続問題について、2階の場合に完全な解決を見た。最後に残ったハーン・エクストンのq-ベッセル函数の大域解析は10数年前からの課題であり難物であったが、科研費で渡航したフランス・トゥールーズでの研究打ち合わせにおいて一気に急進展をみて、2階の場合にはすべてのタイプのq-差分超幾何型方程式の接続問題およびストークス問題を決定した。これによってようやく2階q-差分パンルヴェ方程式の大域解析に着手することが可能になった。この点で、進捗状況は当初の計画以上とは言い難いが想定内の進展をしている。3階以上の場合も必要になるが、同様の手法を用いることで大半は解決できるので、より一般のq-差分パンルヴェ方程式の大域解析に関して十分な道具がようやく手に入ったと思っている。
またq-ウエーバー方程式の接続問題が解かれたことで、従来は扱いにくかった原点と無限遠点の両方に不確定特異点をもつ場合の接続問題に関しても進展をみた。地味ではあるが、この問題の解決も重要な結果である。
q-差分超幾何型方程式の接続問題については大きく進み、もう少しで決定的と思える結果が得られるとは思っているが、他方で主目的であるq-パンルヴェ方程式の大域解析についてはさほど進んではいない。ただ、q-パンルヴェ方程式に対応する線型方程式の解析に関しては、ハイネのq-超幾何、合流型q-超幾何、そして今回得られたハーン・エクストンのq-ベッセルの3つの方程式が鍵になることはわかっており、形式的な部分の計算は終わっているので大きく目処がついたのも確かである。
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| 今後の研究の推進方策 |
前項で述べたように2階q-差分超幾何型方程式の接続問題がすべての退化の場合を含めて完全に解けたので、q-差分パンルヴェ方程式の大域解析を行う障害がなくなった。当然ながら次はq-差分パンルヴェ方程式の大域解析であり、おそらくq-パンルヴェ方程式のVI型、V型だけでなくもう少し退化した場合も込めてq-差分パンルヴェ方程式の大域解析を解くことができるようになると考えている。q-パンルヴェI,II型方程式に関してはまだ困難な問題が残っているが、大域解析は無理でも漸近展開の意味付けはできるのではないかと思っている。q-差分パンルヴェ方程式の大域解析を調べていく基本的な手法はすでにそろっており、超幾何型方程式の接続係数だけが欠けていた情報だったので、時間は多少かかるだろうが、いよいよパンルヴェ方程式の大域解析を調べていく段階に入った。
ただ、q-差分パンルヴェ方程式の中でもE型にあたる退化階層の上3つに対しては対応する線型方程式が2階q-差分超幾何型方程式の枠を超えているので、重要なこの3つに対してはまだ攻略の糸口がない。しかしながらq-ストークス現象を解析するための必要な道具は2階q-差分超幾何型方程式の接続問題を解くときにかなり出揃ったと思っている（実は、現状でも足らないところが残っているのは理解している）ので、2階超幾何型でないq-差分方程式でq-ストークス係数を完全に決定できる方程式の接続問題も合わせて解決していく。E型q-差分パンルヴェ方程式の大域解析については平成30年度には遂行できる段階に持っていきたい。さらにq-差分パンルヴェ方程式の非線型方程式としての不確定特異点の周りの解析も行っていく。q-ウエーバー方程式の接続問題を解析した経験が役立つのではないかとも思っている。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
3月に熊本大学へ出張したが、支払いが完了していないため。
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| 次年度使用額の使用計画 |
4月に支払いが完了する予定である。
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