| 研究課題/領域番号 |
16K05177
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| 研究機関 | 神戸大学 |
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研究代表者 |
小池 達也 神戸大学, 理学研究科, 准教授 (80324599)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | 完全WKB解析 / Voros 係数 / 非線形固有値問題 / Borel総和方 |
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| 研究実績の概要 |
(1) 非線型固有値問題に現われる非線型一階常微分方程式の大きいパラメータに対する形式解の原点における特異性は、今まで研究されてきた有理関数を係数とするリッカチ方程式にはなかった特異性を持つ。そのためレベル曲線が原点に流れ込む場合の形式解の Borel 総和可能性は不明であった（レベル曲線が無限遠点へと流れ込む場合のボレル総和可能性は紫垣氏(神戸大)の修士論文で示されている）。この問題を解決するためには形式解のボレル変換の評価方法を改善しなければならないと思われ、その目的で改めて Riccati 方程式を取りあげて考察した。その結果、ボレル変換の評価を与えるボレル平面内での領域を、帯状領域から角領域に取り換えることで評価方法を改善することができ、結果として（領域は広がったものの）評価を改善することができた。この結果は非線型固有値問題の方程式の形式解に応用できると期待している。
(2) 位相的漸化式による WKB 解の表示を用いて WKB 解の性質を研究することができ、例えばウェーバー方程式の場合は位相的漸化式を用いて定義される自由エネルギーを用いて Voros 係数を表わすことができる（竹井氏(神戸大)の修士論文）。その研究への応用の観点から（シュレーディンガー方程式とは異なり）一階項がある二階線形常微分方程式に付随したリッカチ方程式を考えた。ゲージ変換にシュレーディンガー方程式でを低階項に大きいパラメータに関する低階項を含む場合に、その低階項の形が特殊であるために形式解は一般の低階項を含むシュレーディンガー方程式では見られなかった良い性質を持つ（高次項の特異性のキャンセルが生じる）。その性質は例えば Voros 係数の性質の証明に用いられることが期待される。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
非線型固有値問題や位相的漸化式などの応用を見込んだリッカチ方程式の研究を行なったが、それによりリッカチ方程式の形式解について今まで知られていなかった知見を得ることができた。特に、非線型固有値問題に関連した問題の場合は、原点における形式解の特異性の性質から、過去には形式解の解析的意味付けを与えるためには多重総和法を適用する必要があると考えてたこともあり、ボレル総和法が適用できそうだとの見通しを持つことができたのは今年度得られた大きな結果であった。リッカチ方程式の場合に多重総和法が必要となる場合のスローガンは「変わり点と不確定特異点が合流する場合」であるが、非線型常微分方程式の場合はそのような描像も得にくいため、指導原理としてどのようなものを考えたら良いかは以前不明のままではあるが、非線型固有値問題に現われる方程式の形式解に見られるような特異点での挙動では判定できないことがわかったことは一つの進展ともいえる。
また、位相的漸化式との関連でリッカチ方程式を考えたことにより Voros 係数の理解が進んだともいえるが、「変わり点と不確定特異点が合流する場合」に Voros 係数の変化が多重総和法のレベルに寄与するかの解明のためには重要であると考えられる。
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| 今後の研究の推進方策 |
研究業績の概要 (1) で述べたリッカチ方程式の場合の手法をまず整理して、結果をまとめたい。その上で、この手法の非線型固有値問題に現われる方程式への応用を考えてみる予定をしている。その際に、非線型固有値問題に現われる方程式の非線型項はリッカチ方程式とは異なり多項式ではないため、その取り扱いに十分気をつける必要がある。このことについては神戸大学の紫垣孝洋氏と共同で研究して解決にあたりたいと考えている。特にレベル曲線が原点へ流れ込む場合や、あるいは、原点の周りで閉軌道をなす場合にボレル総和可能性を示すことで、非線型方程式への応用の足掛かりにしたい。
位相的漸化式による WKB 解の表示は、現時点では扱える方程式のタイプがあまり多くはないが、それでも適用できる場合には自由エネルギーによる Voros 係数の表示は極めて本質的であると考えられ、Voros 係数を用いた解析には有効な手段を与えてくれるものと期待できる。少なくとも Weber 方程式の場合は Voros 係数による表示があることから、それを用いて多重総和な場合への「極限」がどうなるかを考えてみるのことは一つの興味深い問題であり、このことについても時間の許す範囲で考察したい。これについては神戸大学の竹井優美子氏と共同で研究したいと考えている。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
研究集会への参加予定を一つとりやめにしたこともあり、その旅費分が余った。
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| 次年度使用額の使用計画 |
今年度は興味深い研究集会が幾つか開催されていることもあり、発表も含めて使用する予定である。
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