| 研究課題/領域番号 |
16K05178
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| 研究機関 | 岡山大学 |
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研究代表者 |
梶原 毅 岡山大学, 環境生命科学研究科, 教授 (50169447)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2021-03-31
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| キーワード | C*-環 / 自己相似写像 / 複素力学系 / コア / 次元群 / イデアル / トレース |
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| 研究実績の概要 |
平成２９年度は、以下のように研究を進めた。
昨年度に引き続き、複素力学系、および分岐点を持つ自己相似写像に付随する C*-環において極大可換環になることをすでに論文の形にまとめており、雑誌 J. Math. Anal. Appl. において刊行した。関連して、対角環を保存する写像の構造について研究を進めている。
また、昨年度に引き続き、自己相似写像に付随するC*-環のコアの行列表現を具体的に記述し、それを用いてコアの K 群を具体的に計算する方法を与えた。さらにテント写像の場合には、コアの K_0 群が整数群の無限加算和と同型になることを示した。さらに記号力学系で知られていた次元群の定義を分岐点を持つ場合に拡張した。特にテント写像の場合には次元群作用が K_0 群上で片側シフトになることを示した。これらの結果は、日本数学会年会で発表した。またこれらの結果はすでに論文にまとめており、雑誌に投稿する予定である。
さらに、テント写像の任意個の直積、およびシルピンスキーカーペットなど、分岐点集合が有限集合でない場合に、付随するコアの解析をさらに発展させている。上記の例を含む一般的な場合に対して、行列表現とモデルトレースの関係を明らかにした。また離散トレースの分類を行い、離散トレースの空間への作用がもとの力学系の情報、特に分岐点の連鎖の情報を復元することを示し、また連続なトレースについても解析を進めている。これらの結果は日本数学会秋季総合分科会で発表しており、さら研究を続けている。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
非可逆な力学系に付随した C*-環は広く研究されているが、研究のほとんどは分岐点を持たない場合であるか、分岐点を避けた構成が用いられている。本研究においては分岐点を取り込んだ定義を用いている。付随する C*-環のコアの構造は複雑になるが、系統的な方法で行列表現の記述を行なっており、それによってコア全体の把握が容易になっている。
以前刊行した研究においては、分岐点が有限集合という仮定のもとでコアのトレース、イデアルの分類にとどまっていたが、今年度は分岐点を持つ場合についても次元群の定義を与えて、典型的な例に対して次元群を計算し、分岐点を持たない場合とは状況が全くことなることを示している。また、以前は分岐点が有限集合であること、さらに分岐点の連鎖が存在しないことを仮定していたが、これらの仮定をほとんど必要としない形で理論を拡張している。以前は複雑と考えていたコアのイデアルの分類を整理された形で実行できている。
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| 今後の研究の推進方策 |
今後は以下の方針で研究を推進する。
すでに分岐点を含む場合について次元群の定義を与えており、一部の例について次元群の計算を行なっているので、より多くの例に対して次元群の計算を実行する。それによって、分岐点を含む場合の K 群、および次元群の構造についての予想の解決をめざす。
テント写像の直積など、分岐点集合が無限集合の状況でコアの解析を発展させる。現在離散トレースの分類及び離散トレースへの作用の解析を行なっているが、有限トレース全体の分類を行なう。また、コアのイデアルの具体的な記述を行なう。また、これらの状況に対しても、次元群の計算を拡張する。
有理関数力学系に付随する C*-環に対してはすでに離散トレースの分類を行なっている。Fatou 集合上の解析をして有限トレース全体の構造を調べる。また、Nekrashevych の手法を応用して、力学系に付随する C*-環からジュリア集合上の作用を復元することもめざす。さらに、高次元のグラフ、複数の有理関数から生成される力学系などに、理論を拡大して分岐点の状況を調べることもめざす。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
研究が当初の目的以上に進み、経費に剰余が生じたが無理に使用せず、今年度の請求額と併せて使用することとした。
連携研究者である九州大学の綿谷安男教授との研究打合を始めとして、研究旅費、成果発表旅費を使用する。また、作用素環、力学系関係の図書を購入する。さらに、複素力学系について数値計算、数式処理を行なうため、新たに計算機を購入する。
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