| 研究課題/領域番号 |
16K05178
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| 研究機関 | 岡山大学 |
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研究代表者 |
梶原 毅 岡山大学, 環境生命科学研究科, 教授 (50169447)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2022-03-31
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| キーワード | 次元群 / K-群 / トレース / 行列表現 / コア |
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| 研究実績の概要 |
かなり強い条件（条件A ,B)をつけた自己相似群から生成されるC*-環に対して、以前において、ゲージ作用不動点環、すなわちコアを用いて次元群を定義していた。これまで具体的な計算例はなかったが、テント写像に付随した自己相似写像に対して、コアのK-群が整数環Zと同型であり、さらに標準的な準同型が、シフトになることを、具体的な計算によって示すこｔができた。さらに、テント写像を一般化した１次元の区間力学系を生成する自己相似写像に対しても、次元群の計算を実行した。この場合には、コアのK-群はテント写像と同じく、整数環Zであるが、標準的な準同型の重複度によって、区間力学系のグラフの数を復元することができることを示した。この結果は、"Dimension groups for self-similar maps and matrix representations of the associated C*-algebras" において刊行した。
また、区間力学系ではない自己相似写像の例として、シェルピンスキー・ギャスケットを生成する自己相似写像に対しても、同様の計算を行うことができ、テント写像との違いを次元群で表現できることを示した。
これまで自己相似写像に課してきた条件がかなり強いものであったため、テント写像の直積、シェルピンスキー・カーペットなど、分岐点集合が高次元となるような新たな条件 C を導入し、この条件のもとでも、以前に行っていたコアの行列表現の直積分解を具体的に書きあらわすことができた。また、離散モデルトレースの有限コアへの制限についてもわかりやすい式で表すことができ、これを用いて、条件Cのもとでも、トレースとK-群のペアリングを具体的に書くことができている。これらの研究は、次年度に引き継いで進めていく。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究の当初においては、分岐点を持つ自己相似写像、リーマン球面上の有理関数による力学系などに付随したC*-環の性質を調べており、さらに力学的平衡状態にあたるKMS状態の分類に進んだ。KMS状態が、本質的にゲージ作用による不動点環のコアによって決まることから、また、記号力学系においてコアが重要であったことから、近年はコア自体の研究を進めて来た。
コアの構造が複雑であることから、現在のところ自己相似写像に集中しており、有理関数力学系の場合の研究は進んでいない。コアの研究において行列表現が重要であり、自己相似写像の場合にはかなり一般的な状況で行列表現、さらには直交分解の記述を行えるが、有理関数の場合にうまく行っていないのは少し残念である。ただし、テント写像のように、どちらでも表せるものがあることを考えると、同様の結果が期待できる。
研究の初期においてはテント写像のコアの計算もわかりやすいものではなかったが、分岐点から現れる離散トレースと、K-群の元のペアリングを考えることで、テント写像、シェルピンスキー・ギャスケットなどの次元群の計算が非常に見通しの良いものになった。独立に定義して研究していた離散トレースと、コアのK-群の密接な双対関係を明らかにできたことは興味深いと考える。ただし、離散的なトレースの分類は可能であり、これらの意味も明らかになって来たが、分岐点の集合が高次元の場合に連続的なとレースまで含めて、とレースの観世zんな分類は、まだ完成していない。
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| 今後の研究の推進方策 |
これまで、分岐点集合が有限集合、分岐点のチェインがない、縮小写像を切断にもつようなコンパクト集合上の連続写像の存在などの条件を付して、明快な結果を得てきた。これらの仮定は、議論を技術的な面においてより容易にしているが、かならずしもすべての局面で必要ではないことが、近年明らかになってきた。
これまで付して来た条件の中で、分岐点が有限集合であること、分岐点のチェインがないことは、理論の障害にはそれほどならないことがわかってきた。それに対して、縮小写像を切断としてもつ連続写像の存在は重要であり、こちらをはずすことは今のところ困難である。分岐点集合が連続的であっても、行列表現は１点ごとに行うので、隣接点とのつながりを考えればよい。また、分岐点のチェインが存在する場合には、コアの行列表現の直積分解に現れる成分の個数が有限個で増大するだけである。
以上のように、これまで考えていた条件よりも一般的な場合において、技術的な難点がかなり克服できている。これらの応用として、自己相似写像のコアのトレースとイデアルの対応を示すことができそうであり、すでに証明はほぼ完成している。コアのイデアルに対してコンパクト空間の集合を対応づけることができ、多くの複雑な場合には、イデアルがゼロになってしまう。議論しなければならない場合については、コアの行列表現を有効に用いることができ、離散トレースとK-群のペアリングにより、コアのゼロでないイデアルと離散とレースが一対一に対応することになる。
このような方向でさらに幅を広げながら、研究を進めていく。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
本予算のかなり多くの部分が、研究打ち合わせ、及び研究成果発表のための旅費を予定していた。今回の研究期間すべてに亘って、CVID-19 が蔓延し、予算の大半部分の執行が困難になった。研究集会及び学会はオンラインで開催されたので、必要な知識を得ることができた。一方、従来から、対面で議論するかたちの研究スタイルをとってきていたので、予算の執行に支障があった。また、オンラインの通信、メールなどで研究打ち合わせの不便を補った。
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