力学系の大偏差原理とその普遍性

2017 年度 実施状況報告書

• 研究課題/領域番号: 16K05179
• 研究機関: 広島大学
• 研究代表者: 鄭 容武 広島大学, 工学研究科, 准教授 (20314734)
• 研究期間 (年度): 2016-04-01 – 2020-03-31
• キーワード: 可微分力学系 / 大偏差原理 / エルゴード理論 / ランダム力学系 / 転送作用素

研究実績の概要

昨年度に引き続き、高橋博樹氏（慶應義塾大学），中野雄史氏（北見工業大学）等との共同研究を推進した．高橋博樹氏とは学会や研究集会等で顔を合わせる機会のほかに互いの所属大学をそれぞれ数度ずつ訪問し，１次元可微分力学系の大偏差原理において臨界点の次数に関する条件が本当に必要かどうか集中的な議論を行った．また，中野雄史氏とは私が広島大学にて主宰した研究集会の機会を通じて，ランダム力学系の極限定理および転送作用素のスペクトル解析に関する集中的な議論を行った．
当該年度の研究により，有界閉区間で定義された単峰写像力学系について，たとえ臨界点の次数が非有界であっても，位相完全性や Schwarz 微分に関する条件といった適当な仮定のもとで大偏差原理が成り立つこと，しかしその場合のレート関数は絶対連続不変確率測度が存在するか否かによって状況が大きく異なることがわかった．この成果については論文にまとめ，専門誌に投稿した．また，日本数学会年会のほか，研究集会「エルゴード理論とその周辺」（広島大学），冬の力学系研究集会（日本大学軽井沢研修所）にて発表した．
当該年度はさらに，米国 Pennsylvania 州立大学にて開催された Semi-annual Workshop in Dynamical Systems and Related Topics に参加し，情報収集ならびにManfred Denker 氏（Penn State），Vaughn Climenhaga 氏（Houston），Ke Zhang 氏（Toronto）等研究集会参加者との議論を行った．

現在までの達成度 (区分)

2: おおむね順調に進展している

理由

共同研究による成果が着実に得られている．
１次元可微分力学系に関する２つ目の共著論文が完成し，この分野における主要な問題に対して一応の解決がついたと考えている．
また，情報収集や様々な研究者との議論を通じて，これまでに得られた研究成果を今後ランダム力学系や多次元力学系に適用するための理解が進展した．

今後の研究の推進方策

研究協力者との交流を引き続き活発化する．
そのために国内外で開催される関連分野の研究集会やセミナーに積極的に参加する．
2018年度は特に，研究集会 Thermodynamic Formalism in Dynamical Systems (ICMS, Edinburgh, UK), The AIMS Conference Series on Dynamical Systems and Differential Equations and Applications（National Taiwan University, Taipei, Taiwan）に参加し，これまでの研究成果について発表するとともに情報収集や参加者との議論を行う．

研究成果

• [学会発表] 平坦な臨界点を持つ単峰写像力学系の大偏差原理について (2018)
  • 著者名/発表者名: 鄭 容武，高橋 博樹
  • 学会等名: 日本数学会年会
• [学会発表] Large deviations in deterministic/random dynamical systems (2017)
  • 著者名/発表者名: 鄭 容武
  • 学会等名: Kyoto Dynamics Days: Random dynamical systems and their applications
  • 招待講演
• [学会発表] 平坦な臨界点を持つ単峰写像力学系の大偏差原理 (2017)
  • 著者名/発表者名: 鄭 容武
  • 学会等名: 研究集会「エルゴード理論その周辺」
  • 招待講演
• [学会発表] 平坦な臨界点を持つ単峰写像力学系の大偏差原理とそのレート関数について (2017)
  • 著者名/発表者名: 鄭 容武
  • 学会等名: 冬の力学系研究集会
  • 招待講演