| 研究課題/領域番号 |
16K05182
|
|---|
| 研究機関 | 東京理科大学 |
|---|
研究代表者 |
横田 智巳 東京理科大学, 理学部第一部数学科, 教授 (60349826)
|
|---|
| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2019-03-31
|
| キーワード | 走化性方程式 / 解の存在と有界性 / 解の漸近挙動 / 複素ギンツブルク・ランダウ方程式 |
|---|
| 研究実績の概要 |
本研究は次の2つのテーマに関する数学的研究を行うことを目的としている。
A. 走化性モデルの時間大域的可解性及び解の漸近挙動
B. 複素ギンツブルク・ランダウ型方程式の時間大域的可解性及び解の漸近挙動
研究2年目にあたる平成29年度は、研究Aを中心に具体的な研究課題を複数設定して実施した。研究Bについては、解の挙動に関する研究を実施した。特に研究Aについては、感応性関数をもつ走化性モデルの時間大域的古典解の存在と有界性に関して平成28年度に得ていた決定的な結果をもとに、ドイツ・パーダーボルン大学のMichael Winklerk氏との共同研究により、時間が経つと解が定数定常解に収束するという結果を得ることに成功した。また、流体中の2種の走化性モデルの研究を行い、空間次元が2次元の場合の平成28年度の考察に基づいて、平成29年度は空間次元が3次元の場合の解の時間大域的可解性と解の漸近挙動に関する結果を得ることができた。以上の結果は、すべて論文としてまとめ、日本数学会秋季総合分科会、日本数学会年会、国際会議「Equadiff 2017」、国際研究集会 「Mathematical aspects of chemotaxis, cross-diffusion effects and concentration phenomena」等の国内外の研究集会で報告した。また、本研究課題に関連する研究者をドイツ・パーダーボルン大学のMichael Winkler氏の学生や研究員を中心に、海外から多数の研究者を招聘して、国際研究集会「The 3rd International Workshop on Mathematical Analysis on Chemotaxis」を東京理科大学において開催し、有意義な研究交流を行った。
|
| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
本研究では、走化性モデルの時間大域的可解性及び解の漸近挙動に関する研究Aと複素ギンツブルク・ランダウ型方程式の時間大域的可解性及び解の漸近挙動に関する研究Bを並行して行うことを目的とし、研究2年目にあたる平成29年度は、研究A、Bの具体的な研究を行うことが目標であった。研究実績の概要で書いた通り、研究Aについては、多数の問題に取り組み、それぞれに対する価値のある結果を導くことができたことから、当初の計画以上に進展したと評価できる。研究Bについては、解の消滅に関する限定的な結果を得るにとどまったことから、期待以上に進展したとは評価し難い。総合的におおむね順調に進展していると判断した理由の1つとして、研究Aにおいて、特に感応性関数をもつ古典的なKeller-Segel系に対して、初めて解の漸近挙動に関する結果を得たことがあげられる。これまで感応性関数をもつ走化性方程式の解の漸近挙動については、ロジスティック項等の人工的な補正項をもつ特別な場合にみ先行結果があった。これに対して、本研究ではロジスティック項等で補正しない、本来のモデルに対して、解の漸近挙動を決定する方法を発見し、Michael Winkler氏と共著論文を完成させ、国際専門誌「Nonlinear Analysis」に掲載が決定した。他に、準線形退化型Keller-Segel系の解の有限時刻爆発を証明する新しい方法とchemotaxis-haptotaxis系の解の有界性を導く新しいテスト関数を発見できたことも重要な成果であると考えている。
|
| 今後の研究の推進方策 |
本研究で扱うテーマは以下の2つであり、対象とする方程式が異なっているが放物型方程式であるという点と、時間大域的可解性と解の漸近挙動を考察する点が共通である:
A. 走化性モデルの時間大域的可解性及び解の漸近挙動
B. 複素ギンツブルク・ランダウ型方程式の時間大域的可解性及び解の漸近挙動
そこで、それぞれの研究手法がお互いに活用できるかどうか吟味することで、今後の研究の推進を図る。これまで研究Bにおいて、エネルギーを用いた考察が有効であることがわかっているので、それを研究Aに活用することで新しい展開が見えてきた。逆に、研究Aにおいてエネルギー評価を導くための新しい方法をいくつか発見しており、それらを研究Bに適用できるかどうか検討の余地がある。また、走化性モデルと複素ギンツブルク・ランダウ方程式の研究において、半群の減衰評価に着目した手法を試みることで研究の推進が期待できる。また、得られた研究成果は、なるべく早く論文としてまとめ、国内外の研究集会で発表する予定である。研究集会での成果報告により、専門家の意見を聞くことができ、研究課題に広がりを持たせたり、異なる視点での研究の流れが生じたりすること
が十分に期待できる。平成30年度は、国際会議「The 12th AIMS Conference on Dynamical Systems, Differential Equations and Applications」(7月、台湾)、日本数学会秋季総合分科会、日本数学会年会、発展方程式研究会での成果報告を予定している。また、本研究課題に関係する専門家を海外から招聘して、国際研究集会を開催することで、国際研究交流を行い、研究の推進を図ることを計画している。
|
| 次年度使用額が生じた理由 |
本研究課題に関わる海外出張のための航空券代の価格の変動と学内業務による出張日程の短縮があり、差額が生じた。翌年度分と合わせて、出張旅費として使用する計画である。
|
