| 研究課題/領域番号 |
16K05186
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| 研究機関 | 香川高等専門学校 |
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研究代表者 |
星野 歩 香川高等専門学校, 一般教育科(高松キャンパス), 准教授 (30598280)
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| 研究分担者 |
白石 潤一 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (20272536)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2019-03-31
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| キーワード | Macdonald多項式 / 変形W代数 / 結晶基底 |
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| 研究実績の概要 |
先行研究においてA形変形W代数の相関関数と一般の分割λに対するA型Macdonald多項式の明示的公式の関係を示した．B，C，D型Macdonald多項式については一行型分割に対する明示的公式を構成し，特にC，D型の変形W代数の相関関数との関係を示した．現在までに得られたことは次のことである．
（１）一列型C，D型Macdonald多項式の組合せ的な明示的公式の予想を記述した．一列型分割に対するC型Macdonald多項式を対称単項Laurent多項式で展開した展開係数は，一般にパラメータq，t，Tの有理式となるが，この展開係数を因子化した有理式の組合せ的な和で記述した．ここにT=1の特殊化でD型Macdonald多項式の対称単項Laurent多項式での展開係数が得られることに注意する．一行型分割に対するC型Macdonald多項式の明示的公式はTのある特殊化のもと，展開係数がC型変形W代数の相関関数から構成される公式であるが，一列型の場合はTの特殊化を必要としない明示的公式である．
（２）二行型や長方形型分割に対するA_2n型変形W代数の相関関数の，T=tにおけるC_n型Macdonald多項式による展開係数の明示式を予想した．C型とD型変形W代数をinterpolateするような代数を考え，その相関関数が対称Laurent多項式になる条件を課すと，いくつかの代数が定まる．そのひとつはA_2n型の変形W代数であり，代数の相関関数をT=tにおけるC_n型Macdonald多項式で展開した展開係数が因子化することがわかった．特に二行型，長方形型分割に対する相関関数の展開係数を記述した．
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
2: おおむね順調に進展している
理由
（１）C型変形W代数はq，tというパラメータをもち，C型Macdonald多項式は加えてTというパラメータをもつ．先行研究では一行型C型Macdonald多項式のパラメータTを特殊化し，その明示的公式とC型変形W代数の相関関数との関係を示した．これとは異なり，一列型C型Macdonald多項式の組合せ的な明示的公式は，パラメータTを特殊化しない公式である．これはC型変形W代数が1パラメータ分拡張可能なことを示唆していると考えられる．また一行型と一列型の明示的公式は，一般の分割に対する明示的公式の構成の足掛かりになると考えられる．
（２）C型Macdonald多項式の明示的公式を得るうえで，パラメータTの特殊値での挙動は必要な情報である．この意味において，C型Macdonald多項式の明示的公式とその代数構造を，様々な理解が進んでいるA型Macdonald多項式とその代数構造の枠組みで捉えることは，研究遂行のための基礎となると考えられる．
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| 今後の研究の推進方策 |
B型Macdonald多項式については，一列型の組合せ的な明示的公式，C，D型Macdonald多項式については二行型，二列型の明示的公式の構成を目指すことになるが，対応する変形W代数の表現論を考察し，また，C型Macdonald多項式についてはパラメータTの特殊値での挙動を解析してゆく．
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| 次年度使用額が生じた理由 |
（１）所属研究機関の異動に伴う準備等により，予定していた学会や研究集会への参加が実施できなかったこと，また，移管措置が不明確であったこと
（２）当初購入を予定していた計算機よりも高価な計算機を購入する必要があり，次年度以降の研究費を合算して購入する都合上，（１）を勘案し，次年度新たに使用計画を立てる必要があったこと
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| 次年度使用額の使用計画 |
必要な計算機を購入し，残額を旅費等に充てる．
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