| 研究課題/領域番号 |
16K05189
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| 研究機関 | 茨城大学 |
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研究代表者 |
堀内 利郎 茨城大学, 理学部, 教授 (80157057)
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| 研究分担者 |
下村 勝孝 茨城大学, 理学部, 教授 (00201559)
中井 英一 茨城大学, 理学部, 教授 (60259900)
安藤 広 茨城大学, 理学部, 准教授 (60292471)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | 加藤の不等式 / CKN型不等式 / p-ラプラシアン / 重み付きハーディ不等式 / 重み付きソボレフ不等式 / 強最大値原理 / 逆最大値原理 / 非線型変分問題 |
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| 研究実績の概要 |
加藤の不等式とCKN型不等式を中心に古典的不等式（重み付きハーディ不等式、重み付きソボレフ不等式等）の精密化の基礎的研究が精力的に行われた。特に、p－ラプラシアンに対する測度値の加藤の不等式を証明した。
それらを基礎とし、（１）p－ラプラシアンを主要部とする準線型楕円型作用素に対する強最大値原理と逆最大値原理の研究および（２）p=1と臨界の場合のCKN型不等式の研究が行われた。
さらに具体的には次の成果があった。（１）に関しては、適切に許容空間を設定することにより準線型楕円型作用素に対する強最大値原理と逆最大値原理の研究が成立し、準線型楕円型作用素に対する境界値問題の解の一意存在性、解の特異性が詳しく調べられた。また、我々が導入した許容空間とRenormalized 解とエントロピー解との関係が明らかにおなりつつある。（２）に関しては、p=1の場合のCKN型不等式が等周不等式であることに着目し、その証明と対称性の崩れの研究が行われた。これらの研究と同時に「精密化された古典的不等式」を共通の手法とし、非線型退化楕円型作用素の諸問題を対象とし分担者・連携研究者・海外の研究協力者が有機的関係を深めながら進展を目指して共同研究を行った．具体的には、次の関連する問題の研究が行われ一定の成果が上げられた。古典不等式における精密な無限個のミッシング・タームの存在と応用の研究、 臨界指数のCKN型不等式の精密化と関連する変分問題の解の存在と非存在の研究等。
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| 現在までの達成度 (区分) |
現在までの達成度 (区分)
1: 当初の計画以上に進展している
理由
測度値の加藤の不等式が成立するための適切な十分条件の導出が懸案であったが、古典的なRenormalized解やエントロピー解を含む許容クラスを定めることに成功したため、加藤の不等式が精密化できた。さらに、その応用として強最大値原理と逆最大値原理が確立できた点が挙げられる。
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| 今後の研究の推進方策 |
p-ラプラシアンを含むような準線形用素の境界値問題と変分問題の解析について：
線形の場合には、今年度得られた許容条件を満たさない場合には、それらは適当なエネルギー空間における変分問題の解としては捉えられないいわゆる病的な解であることが既に示された。このエネルギークラスに属さない解に関する研究は現在まで殆ど行われていないのが現状であるが、許容クラスの有効性を知るためにも重要な研究と位置づけられると考えている。来年度には非線型の場合も含めて多くの反例を構成し、この病的なクラスの解の解析を試みたい。
古典的不等式の精密化の問題について：引き続き様々な不等式の精密化を目指して研究する予定である。
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| 次年度使用額が生じた理由 |
平成２８年度に予定されていた海外共同研究者とのスウェーデンにおける共同研究が来年度（平成２９年度）に変更になり、海外出張旅費等が翌年に繰り越されたためである。変更理由は、平成２８年度には国内における研究集会や指導学生の学位申請に伴う審査等が７月から１２月に集中したため、スウェーデンの共同研究者との予定調整が上手くいかなかったからである。
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| 次年度使用額の使用計画 |
平成２９年度後期において、延期されていた長期の海外出張を伴うスウェーデンのイェーテボーリ大学における海外共同研究が行われる予定である。
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