| 研究課題/領域番号 |
16K05189
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| 研究機関 | 茨城大学 |
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研究代表者 |
堀内 利郎 茨城大学, 理工学研究科(理学野), 教授 (80157057)
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| 研究分担者 |
下村 勝孝 茨城大学, 理工学研究科(理学野), 教授 (00201559)
中井 英一 茨城大学, 理工学研究科(理学野), 教授 (60259900)
安藤 広 茨城大学, 理工学研究科(理学野), 准教授 (60292471)
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| 研究期間 (年度) |
2016-04-01 – 2020-03-31
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| キーワード | 加藤の不等式 / CKN型不等式 / p-ラプラシアン / 重み付きハーディ不等式 / 重み付きソボレフ不等式 / 強最大値原理 / 逆最大値原理 / 非線型変分問題 |
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| 研究実績の概要 |
前年度に続き、一般化されたp－ラプラス作用素（Aと呼ぶ）に対するHardy型不等式、Sobolev不等式、加藤の不等式とCKN型不等式を中心に重み付き古典的不等式の精密化の基礎的研究が精力的に行われた。さらに補助事業期間の最終年度であるため、既に得られた研究成果の大部分を４篇の論文にまとめ出版した。 具体的には以下の研究が行われた：(1) 作用素Aに対する測度値の加藤の不等式の確立、Aを主要部とする準線型楕円型作用素に対する強最大値原理と逆最大値原理、(2) p－ラプラアンに対する領域の境界まで込めた加藤の不等式、 (3) p=1と臨界の場合のCKN型不等式の確立、 (4) 1次元Hardy型不等式の精密化とその応用。
以下では主な結果を述べる：(1)に関しては、適切に許容空間を設定することによりAを主要部とする準線型楕円型作用素に対する強最大値原理と逆最大値原理の証明、Aを主要部とする準線型楕円型作用素に対する境界値問題の解の一意存在性と解の特異性が詳しく調べられた。また、我々が導入した許容空間と Renormalized 解とエントロピー解との関係が明らかにされた。(2) については、線形の場合の先行結果の多くが準線形の場合にも成立する事が証明された。 (3)に関しては、p=1の場合のCKN型不等式が等周不等式であることに着目し、その証明と対称性の崩れの研究が引き続き行われた。(4)に関しては、すべてのベキ型の重みに対してHardy不等式が１次元の片側境界条件の下で確立された。またその応用として、境界からの距離のべきを重みとする弱Hardy型の不等式を導入し従来の不等式を精密化した。さらに同時に古典不等式における精密なミッシング・タームの存在と応用の研究、 臨界指数の不等式の精密化と関連する変分問題の研究等を行った。
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