| 研究実績の概要 |
空間1次元ディラック・クライン・ゴルドン方程式の初期値問題に対する適切性の問題を取り扱ってきた。ここで微分方程式の初期値問題が適切であるとは、解の存在、解の一意性、そして解の初期値への連続依存性の３つの性質を揃えることである。そしてこれらのうち一つでも否定されると、微分方程式の初期値問題は非適切であるという。（ここで不適切という用語は使用されない。）この適切性はアダマールの意味の適切性と呼ばれることがある。
さて、微分方程式の初期値問題の適切性を議論するときに、そこで解を捕まえる、つまり解が所属する、関数空間の選択が重要になってくる。今回、空間1次元ディラック・クライン・ゴルドン方程式の初期値問題を研究するにあたりソボレフ空間 H^s(R)×H^r(R) を採用している。ここで関数空間が二つのソボレフ空間の直積なのは解がディラック方程式のものと、クライン・ゴルドン方程式のものと２種類あるからである。ディラック・クライン・ゴルドン方程式はこれら二つの方程式の連立系である。また指数の s や r は関数の滑らかさの度合い、つまり正則度、を表している。この問題は古くは1973年に Chadam により H^1(R)×H^1(R) での適切性の解決がある。しかしその後、様々な解析技術の進展により正則度を下げる研究成果が報告されていた。
そこへ申請者も参入していき、過去に幾つかの論文も発表している。さらに近年は申請者は非適切性の結果も発表しており、適切性と非適切性の双方からのアプローチで研究を進めてきた。(s,r) を2次元平面で捉えたときにある点と、ある直線上で、適切とも非適切とも判定のつかない箇所がある。しかしその Bejenaru-Tao の切り離し法や Iwabuchi-Ogawa の解関数の級数展開法を駆使して、非適切の形で、解決ができる研究をした。
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